Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných 

Príklad 2: Vypočítajte prvú parciálnu deriváciu funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$. 

Riešenie: Rátať deriváciu funkcie v bode znamená predovšetkým rátať deriváciu funkcie. Aj v tomto prípade teda najskôr zrátame všeobecný tvar derivácie funkcie podľa premennej $z$ a do vzniklejšieho výrazu následne dosadíme súradnice bodu $A$ (vo všetkých výskytoch premennej $x$ v získanom výraze ju nahradíme číslom $\pi$, premennú $y$ nahradíme číslom $2$ a $z$ číslom $1$), čím získame (číselnú) hodnou derivácie funkcie v danom bode. (Derivácia funkcie v bode je vždy vyjadrená číselnou hodnotou, nie neurčitým výrazom!) 

Naša funkcia má tvar podielu, preto najskôr využijeme vzťah IV.: 
$$f'_z=\frac{[\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}]'_z\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot[3y^{3}-2^{z}]'_z}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$  
Aj keď sa toto vyjadrenie môže zdať byť zložité, čo do derivácie v ňom ostáva zderivovať len výrazy 
$I_1=\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}$ a $I_2=3y^{3}-2^{z}$. 

Začnime výrazom $I_1$ a upravme ho podľa II.: 
$$[I_1]'_z=[\sin{3x}]'_z-[y^{2}z\cdot\ln{z}]_z$$  
Menšenec daného výrazu neobsahuje premennú $z$, teda jeho derivácia podľa tejto premennej bude nulová. Menšiteľ je vzhľadom na premennú $z$ v tvare súčinu. Preto na jeho úpravu použijeme vzťah III. (Pozor na záporné znamienko pred zátvorkou, vynucuje si jej existenciu!): 
$$[I_1]'_z=0-([y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}+y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z)$$  
Odstránime zátvorku: 
$$[I_1]'_z=-[y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z$$  
Na prvý výraz aplikujeme I. a na druhý 5.: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}[z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot\frac{1}{z}$$  
Prvý výraz upravíme pomocou 2., druhý krátením zjednodušíme a dostaneme výsledný tvar $[I_1]'_z$: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2}$$  

Teraz zderivujme výraz $I_2$. Najskôr ho upravíme podľa II.: 
$$[I_2]'_z=[3y^{3}]'_z-[2^{z}]'_z$$  
Menšenec daného rozdielu nie je funkciou premennej $z$, teda jeho derivácia podľa $z$ je podľa 1. rovná nule (aby nedošlo ku chybe znamienka menšiteľa, radšej pri prvotnej úprave výrazu $[I_2]'_z$ túto nulu napíšeme). Menšiteľ zderivujeme podľa 4. a dostaneme: 
$$[I_2]'_z=0-2^{z}\cdot\ln{2}$$  

Výrazy $[I_1]'_z$ a $[I_2]'_z$ dosadíme na patričné miesto vo vyjadrení $f'_z$: 
$$f'_z=\frac{(-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2})\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot(-2^{z}\cdot\ln{2})}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$  
Teraz do $f_z$ dosadíme súradnice bodu $A$ a upravíme: 
$$f'_z(A)=\frac{(-2^{2}1\cdot\ln{1}-2^{2})\cdot(3.2^{3}-2^{1})-(\sin{3\pi}-2^{2}1\cdot\ln{1})\cdot(-2^{1}\cdot\ln{2})}{(3.2^{3}-2^{1})^{2}}$$  
$$f'_z(A)=\frac{(-4\cdot 0-4)\cdot(3.8-2)-(0-4\cdot 0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(3.8-2)^{2}}$$  
$$f'_z(A)=\frac{(0-4)\cdot(24-2)-(0-0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(24-2)^{2}}$$
$$f'_z(A)=\frac{(-4)\cdot(22)-0}{(22)^{2}}=\frac{(-4)\cdot 22}{22^{2}}$$  
Tu je vhodné si všimnúť, že je vhodnejšie získaný zlomok krátiť $22$, než $22$ umocňovať na druhú: 
$$f'_z(A)=-\frac{4}{22}=-\frac{2}{11}$$  
Záverom môžeme skonštatovať, že parciálna derivácia funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$ je rovná $-\frac{2}{11}$.