Definičný obor funkcie

Pri určovaní definičného oboru funkcie, ktorá je zložená z elementárnych funkcii je nutné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:

• výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule,
• výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule,
• argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula,
• argument funkcie $\arcsin$ a  $\arccos$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.

Príklad 1

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$f: y=\frac{x^2-8}{x^2-x-6}$$

Riešenie:

Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule.
$$x^2-x-6\neq 0$$
Kvadratický výraz prepíšeme na súčin využitím vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice $ax^2+bx+c=0$.
Tieto korene vypočítame podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x^2-x-6= (x-3)(x+2)$$
Teda
$$(x-3)(x+2)\neq 0$$
Súčin je rôzny od nuly práve vtedy, keď sú oba činitele rôzne od nuly.
$$(x-3)\neq 0\ \wedge\ (x+2)\neq 0$$
Symbol $\wedge$ znamená, že podmienky musia platiť súčasne.
$$x\neq 3\ \wedge\ x\neq -2$$
$$D(f)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2, 3\}= (-\infty, -2)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)$$
(Čítame: Definičným oborom funkcie $f$ je množina všetkých reálnych čísel s výnimkou dvojprvkovej množiny obsahujúcej čísla $-2$ a $3$.)