Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 3: Vypočítajte všetky parciálne derivácie druhého rádu funkcie $$f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{3})$$

Riešenie: Funkcia $f(x,y)$ dvoch premenných $x$ a $y$ má dve prvé parciálne derivácie - parciálnu deriváciu podľa prvej premennej ($f'_x$) a parciálnu deriváciu podľa druhej premennej ($f'_y$). Podobne ako v prípade derivovania funkcie jednej reálnej premennej, deriváciu druhého rádu získame opätovným zderivovaním funkcie, ktorá predstavuje výstup z prvého derivovania ($f''(x)=[f'(x)]'$). Keďže v prípade funkcie dvoch premenných máme dve prvé parciálne derivácie a každú z nich možno opätovne zderivovať podľa dvoch premenných, počet všetkých druhých derivácií funkcie $f(x,y)$ dvoch premenných bude $4$: $f''_{xx}=[f'_x]'_x$, $f''_{yy}=[f'_y]'_y$, $f''_{xy}=[f'_x]'_y$, $f''_{yx}=[f'_y]'_x$. Posledné dve z týchto štyroch derivácií nazývame zmiešané druhé derivácie funkcie a tieto sú rovnaké, pokiaľ je funkcia $f(x,y)$ spojitá. (Tento fakt možno využiť jednak na urýchlenie výpočtov, jednak na kontrolu, či nami vyrátaná jedna zmiešaná parciálna derivácia druhého rádu je vyrátaná správne, ak sa nezhoduje jej vyjadrenie s vyjadrením druhej zmiešanej parciálnej derivácie druhého rádu a funkcia $f(x,y)$ je pritom spojitá, signalizuje to chybu vo výpočte!)

Vypočítajme teda najskôr $f'_x$ a $f'_y$. Nakoľko $f$ je zložená funkcia tak z pohľadu premennej $x$, ako aj z pohľadu premennej $y$, v oboch prípadoch využijeme kombináciu vzťahov V. a 5., vzniknutý výraz doderivujeme použitím II. a 2. a 1. v prvom prípade a použitím II. a 1. a 2. v druhom prípade: $$f'_x=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_x= \frac{[x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x}{x^{2}+y^{3}}= \frac{2x^{2-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$$  
$$f'_y=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_y= \frac{[x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y}{x^{2}+y^{3}}= \frac{3y^{3-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}$$

Teraz môžeme pristúpiť k rátaniu parciálnych derivácií druhého rádu. Pri výpočte $f''_xx$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 2. a 1.: 
$$f''_{xx}=\frac{[2x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot [x^{2}+y^{3}]'_x}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2[x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot ([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
$$f''_{xx}=\frac{2(1x^{1-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot (2x^{2-1}+0)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
$$f''_{xx}=\frac{2(x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot(2x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2x^{2}+2y^{3}-4x^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
Pri výpočte $f''_yy$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 1. a 2.: 
$$f''_{yy}=\frac{[3y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot [x^{2}+y^{3}]'_y}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{3[y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot ([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
$$f''_{yy}=\frac{3(2y^{2-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (0+3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y+6y^{4}-9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y-3y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
Pri výpočte $f''_{xy}=[f'_x]'_y$ kvôli zjednodušeniu výpočtov využijeme prepis funkcie $f'_x=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$ do tvaru súčinu konštanty a funkcie: $f'_x=2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}$, ktorý možno derivovať pomocou I.:
$$f''_{xy}=[f'_x]'_y=[2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y =2x\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y$$  
Hľadanú deriváciu následne nájdeme postupným aplikovaním vzťahov V. a 2., II., 1. a 2.: 
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1}\cdot[x^{2}+y^{3}]'_y$$
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)$$  
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(0+3y^{3-1})$$
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(3y^{2})$$  
$$f''_{xy}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$  
Kvôli kontrole správnosti prevedených výpočtov (a preto, že sme spojitosť funkcie $f$ neoverovali), podobným spôsobom vypočítame i $f''_{yx}=[f'_y]'_x=[\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}]'_x$ po jej prepísaní na tvar súčinu konštanty a funkcie: $f''_{yx}=[3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$ a postupným využitím I., V. a 2., II., 2. a 1.:
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$$  
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1})\cdot[x^{2}+y^{3}]'_x$$  
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-2})\cdot([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)$$
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(2x^{2-1}+0)$$  
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 2x$$  
$$f''_{yx}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
Týmto výpočtom sme si zároveň overili platnosť $f''_{yx}=f''_{xy}$ pre spojitú $f$.