Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 11: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}.$$

Riešenie: Podobne ako v predchádzajúcej úlohe vyrátame

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}} \right) = $$

$$ = \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{1}{y^{2}} \right)=\lim_{x\to \infty} 0=0$$

(Pri počítaní sme si uvedomili, že $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde na výrazy $3x^{2}$ a $4x^{2}$ sme nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{y}{y^{3}}$! Rovnosť $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $x$ ako na konštantu. Preto je písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, veľmi dôležité!)  

Teraz vypočítame hodnotu $L_2$:

$$L_2=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}} \right) = $$

$$ = \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3}{4} \right)=\lim_{y\to \infty} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

(Pri počítaní sme si tu uvedomili, že $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je opäť limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde sme na výrazy $y$ a $y^{3}$ nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, opäť netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{3x^{2}}{4x^{2}}$! Rovnosť $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $y$ ako na konštantu. To znova dokazuje, že písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, je veľmi dôležité!) 

Napokon porovnáme $L_1$ s $L_2$:   

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=0\neq \frac{3}{4}=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=L_2$$

Teda $$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$$ neexistuje.