Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 8: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}.$$

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú považujeme kvadratickú substitúcia, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po krivkách:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t^{2}; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|= $$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t(k\cdot t^{2})^{2}+\left(\sqrt{k\cdot t^{2}}\right)^{5}} =\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot (t^{2})^{2}+(k\cdot t^{2})^\frac{5}{2}}=$$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot t^{4}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{\frac{2.5}{2}}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{k^{2} \cdot t^{5}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{5}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}\cdot 1}{t^{5} (k^{2} +k^{\frac{5}{2}})}= $$

$$= \lim_{t\to 0} \frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}.$$

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$, kým pre $k=4$ má hodnotu $\frac{1}{48}$), $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}$ neexistuje.