Processing math: 100%

Wednesday, April 15, 2015

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Dotyková rovina, normála 


Príklad 1: Určte rovnicu dotykovej plochy a normály grafu funkcie z=f(x,y)=xy+x^{2} v bode A=[x_0,y_0,z_0]=[2,-3,?].

Riešenie: Definičným oborom funkcie f je množina \mathbb{R}x\mathbb{R}, funkcia je teda definovaná v každom bode roviny R_{xy} predpisom f(x,y)=xy+x^{2} (zároveň je v každom bode roviny \mathbb{R}x\mathbb{R} spojitá a diferencovateľná). Teda z-tovú súradnicu bodu A, hodnotu z_0 získame tak, že vo výraze xy+x^{2} za x dosadíme hodnotu x_0 (tu 2) a za y dosadíme hodnotu y_0 (tu (-3)):

z_0=2(-3)+2^{2}=(-6)+4=(-2)
 

Funkcia f je daná explicitne (t.j. z je vyjadrené funkciou premenných x a y), teda pri riešení využijeme vzťahy pre rovnicu dotykovej plochy \tau a normálovej priamky n grafu funkcie určenej explicitne: 

\tau: f'_x(A)\cdot(x-x_0)+f'_y(A)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0 

n: x=x_0+f'_x(A)\cdot t 

\phantom{n:\ } y=y_0+f'_y(A)\cdot t 

\phantom{n:\ } z=z_0-1\cdot t; \qquad t\in\mathbb{R} 

Vypočítame f'_x použitím II., následne I. a 2., potom opäť 2. aplikujeme na prvý ščítanec súčtu 
f'_x=[xy+x^{2}]'_x=[xy]'_x+[x^{2}]'_x= y[x]'_x+2x^{2-1}=y1x^{1-1}+2x^{1}=y+2x
 
f'_x(A) vypočítame tak, že do vyjadrenia f'_x za x dosadíme hodnotu x_0 a za y dosadíme hodnotu y_0: 
f'_x(A)=(-3)+2\cdot 2=(-3)+4=1
 

Teraz vypočítame f'_y použitím II., následne I. a 1., potom aplikujeme 2. na prvý ščítanec súčtu
f'_y=[xy+x^{2}]'_y=[xy]'_y+[x^{2}]'_y= x[y]'_y+0=x1y^{1-1}+0=x

f'_y(A) vypočítame tak, že do vyjadrenia f'_y za x dosadíme hodnotu x_0 (a ak by sa tam nachádzalo nejaké y, tak za y dosadíme hodnotu y_0): 
f'_y(A)=2
 

Získané hodnoty dosadíme do rovníc pre n a \tau: 

n: x=2+1\cdot t 

\phantom{n:\ } y=(-3)+2\cdot t 

\phantom{n:\ } z=(-2)-1\cdot t; \qquad t\in\mathbb{R} 

\tau: 1\cdot(x-2)+2\cdot(y-(-3))-(z-(-2))=0 

Po úprave: 

\tau: x-2+2y+2\cdot 3-(z+2)=0 

\tau: x+2y-z+2=0 


Tým sme získali hľadané rovnice normály a dotykovej plochy ku grafu funkcie.






1 comment:

  1. Ak je to dotyková rovina rovnobežná s ľubovolnou inou rovinou tak ju získame pomocou dosadením súradníc x a y normálového vektora roviny rovnobežnej s rovinou Rxy do ľubovolnej roviny a vyjadrením jednej zo zložiek tejto roviny?

    ReplyDelete