Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1: Nájdite lokálne extrémy funkcie $\displaystyle f(x,y)= x^3+3xy^2-51x-24y$.

Riešenie:

Z prvých parciálnych derivácií funkcie $f(x,y)$ určíme stacionárne body.

$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24 \end{array}$$

Následne prvé parciálne derivácie položíme rovné nule, pričom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

$$\begin{array}{ccl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24. \end{array}$$

Sústavu vyriešime dosadzovacou metódou. Z druhej rovnice vyjadríme jednu z premenných napr. $y=\frac{4}{x}$ a toto vyjadrenie dosadíme do prvej rovnice. Dostávame

$$\begin{array}{rcl} x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2-17&=&0\\ x^2+\frac{16}{x^2}-17&=&0\\ x^4+16-17x^2&=&0\\ x^4-17x^2+16&=&0. \end{array}$$

Hľadáme riešenie rovnice vyššieho stupňa. Využijeme substitúciu, ktorou sa táto rovnica zmení na rovnicu druhého stupňa (kvadratickú rovnicu).
Rovnicu upravíme: $(x^2)^2-17x^2+16=0$. Zavedieme substitúciu $x^2=a$ a hľadáme korene kvadratickej rovnice.

$$\begin{array}{rcl} a^2-17a^2+16&=&0 \\ (a-16)(a-1)&=&0. \end{array}$$

Keďže $x^2=a$, potom
$(x^2-16)(x^2-1)=0$. Súčin je rovný nule vtedy a len vtedy, ak je jeden z činiteľov rovný nule, t.j.

• $x^2=16$, teda $x_1=4$ a $x_2=-4$,
• $x^2=1$, teda $x_3=1$ a $x_4=-1$.

Dosadením do vyjadrenia pre $y$ dostávame súradnice $4$ stacionárnych bodov.
$$\begin{array}{ccl} A&=&[4,1]\\ B&=&[-4,-1]\\ C&=&[1,4]\\ D&=&[-1, -4] \end{array}$$

Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či tieto stacionárne body sú aj body, v ktorých funkcia $f(x,y)$ nadobúda lokálne extrémy.

Parciálne derivácie druhého rádu.
$$\begin{array}{ccc} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& 6x\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& 6y\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 6x\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& 6y \end{array}$$

Určíme jednotlivé determinanty pre príslušné stacionárne body;

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr} 24& 6\\ 6 & 24\\ \end{array} \right\vert = 576-36>0.$$

V bode $A$ existuje extrém. Keďže $24>0$, je v tomto bode lokálne minimum.

$$D_B=\left\vert\begin{array}{rr} -24& -6\\ -6 & -24\\ \end{array} \right\vert = 576-36>0.$$

V bode $B$ existuje extrém. Keďže $-24<0$, je v tomto bode lokálne maximum.

$$D_C=\left\vert\begin{array}{rr} 6& 24\\ 24 & 6\\ \end{array} \right\vert = 36-576<0.$$

V bode $C$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.

$$D_D=\left\vert\begin{array}{rr} -6& -24\\ -24 & -6\\ \end{array} \right\vert = 36-576<0.$$

V bode $D$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.