Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1: Nájdite lokálne extrémy funkcie $\displaystyle f(x,y)= x^3+3xy^2-51x-24y$.

Riešenie:

Z prvých parciálnych derivácií funkcie $f(x,y)$ určíme stacionárne body.

$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24
\end{array}$$

Následne prvé parciálne derivácie položíme rovné nule, pričom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

$$\begin{array}{ccl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24.
\end{array}$$

Sústavu vyriešime dosadzovacou metódou. Z druhej rovnice vyjadríme jednu z premenných napr. $y=\frac{4}{x} $ a toto vyjadrenie dosadíme do prvej rovnice. Dostávame

$$\begin{array}{rcl}
x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2-17&=&0\\
x^2+\frac{16}{x^2}-17&=&0\\
x^4+16-17x^2&=&0\\
x^4-17x^2+16&=&0.
\end{array}$$

Hľadáme riešenie rovnice vyššieho stupňa. Využijeme substitúciu, ktorou sa táto rovnica zmení na rovnicu druhého stupňa (kvadratickú rovnicu).
Rovnicu upravíme: $(x^2)^2-17x^2+16=0$. Zavedieme substitúciu $x^2=a$ a hľadáme korene kvadratickej rovnice.

$$\begin{array}{rcl}
a^2-17a^2+16&=&0 \\
(a-16)(a-1)&=&0.
\end{array}$$

Keďže $x^2=a$, potom
$(x^2-16)(x^2-1)=0$. Súčin je rovný nule vtedy a len vtedy, ak je jeden z činiteľov rovný nule, t.j.

• $x^2=16$, teda $x_1=4$ a $x_2=-4$,
• $x^2=1$, teda $x_3=1$ a $x_4=-1$.

Dosadením do vyjadrenia pre $y$ dostávame súradnice $4$ stacionárnych bodov.
$$\begin{array}{ccl}
A&=&[4,1]\\
B&=&[-4,-1]\\
C&=&[1,4]\\
D&=&[-1, -4]
\end{array}$$

Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či tieto stacionárne body sú aj body, v ktorých funkcia $f(x,y)$ nadobúda lokálne extrémy.

Parciálne derivácie druhého rádu.
$$\begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& 6x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& 6y\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 6x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& 6y
\end{array}$$

Určíme jednotlivé determinanty pre príslušné stacionárne body;

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr}
24& 6\\
6 & 24\\
\end{array} \right\vert = 576-36>0. $$

V bode $A$ existuje extrém. Keďže $24>0$, je v tomto bode lokálne minimum.

$$D_B=\left\vert\begin{array}{rr}
-24& -6\\
-6 & -24\\
\end{array} \right\vert = 576-36>0. $$

V bode $B$ existuje extrém. Keďže $-24<0$, je v tomto bode lokálne maximum.

$$D_C=\left\vert\begin{array}{rr}
6& 24\\
24 & 6\\
\end{array} \right\vert = 36-576<0. $$

V bode $C$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.

$$D_D=\left\vert\begin{array}{rr}
-6& -24\\
-24 & -6\\
\end{array} \right\vert = 36-576<0. $$

V bode $D$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.