Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 9: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}.$$ 

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Ako vhodná sa ukazuje byť substitúcia, ktorá našu limitu prevedie na limitu typu "nula lomené nula" jednej reálnej premennej, ktorú možno riešiť L'Hospitalovým pravidlom:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}=\left|Subst. \ x^{3}+y^{2}= t^{2}; t\to 0\right|= \lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}$$

(L'Hospitalovo pravidlo možno uplatniť pri výpočte limít typu "nula lomené nula" $\ $ alebo "nekonečno lomené nekonečno" funkcie jednej reálnej premennej v podielovom tvare (a všetkých limít, ktoré možno nejakými ekvivalentnými úpravami na takýto typ limity previesť).

L'Hospitalovo pravidlo hovorí o tom, že ak máme dve funkcie $f(t)$, $g(t)$, pre ktoré v bode $t_0$ platí $\lim_{t \to t_0} f(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$) a zároveň $\lim_{t \to t_0} g(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$), potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)}$, platí
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)},$

kde $f'(t)$ označuje deriváciu funkcie $f$ podľa premennej $t$ a $g'(t)$ označuje deriváciu funkcie $g$ podľa premennej $t$.

L'Hospitalovo pravidlo je použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Navyše ak je $\frac{f'(t)}{g'(t)}$ v bode $t_0$ opäť neurčitým výrazom, možno L’Hospitalovo pravidlo použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, až pokiaľ nezískame výraz, ktorý nie je neurčitý.)

$$\lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1\cdot t^{1-1}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1 \cdot t^{0}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1}=\frac{1}{1}=1.$$