Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 10: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}.$$  

Riešenie: Dokazovanie toho, že nejaká limita neexistuje pomocou opakovaných limít je založené na fakte, že ak funkcia $f(x,y)$ má v bode $X_0=[x_0,y_0]$ limitu rovnú $L$, teda

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y) = L$$

a existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a tiež existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

tak nevyhnutne $L=L_1=L_2$. Uvedené tvrdenie sa využíva v nasledujúcom tvare: Ak existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

avšak $L_1\neq L_2$, tak neexistuje

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y).$$

Počítajme teda

$$L_1=\lim_{x\to 0} \left(\lim_{y\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{1}=1$$

Teraz počítajme

$$L_2=\lim_{y\to 0} \left(\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{y\to 0} \frac{y}{-y}=\lim_{y\to 0} \frac{1}{-1}=-1$$

Keďže $L_1=1\neq (-1)=L_2$, $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}$ neexistuje.