Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 4: Vypočítajte $f'''_{xyy}$ funkcie $f(x,y)=e^{xy}$. 

Riešenie: Derivácia tretieho rádu sa získa deriváciou druhej derivácie funkcie. (Podobne sa získajú aj derivácie vyšších rádov.) 

Teda $f'''_{xyy}=[f''_{xy}]'_y=[[f'_{x}]'_y]'_y$. 

Funkcia $f(x,y)=e^{xy}$ je zloženou funkciou, teda $f'_{x}$ získame postupným aplikovaním vzťahov V. v kombinácii s 3., potom I., 2. a následnou úpravou: 
$$f'_{x}=[e^{xy}]'_x=e^{xy}\cdot[xy]'_x=e^{xy}\cdot y[x]'_x=e^{xy}\cdot y1x^{1-1}=e^{xy}\cdot y1x^{0}=e^{xy}y$$
$f''_{xy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{x}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xy}=[f'_{x}]'_y=[e^{xy}y]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot[y]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa 2.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{1-1}$$
Prvý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2. a následne celý výraz upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{0}=e^{xy}x1\cdot y + e^{xy}\cdot 1=e^{xy}(xy+1)$$  

$f''_{xyy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{xy}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xyy}=[f'_{xy}]'_y=[e^{xy}(xy+1)]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot[xy+1]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje opäť zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa II.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot ([xy]'_y+[1]'_y)$$
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}[xy]'_y+ e^{xy}[1]'_y$$

Prvý a druhý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2., tretí pomocou 1.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}x[y]'_y+ e^{xy}\cdot 0$$
$$f''_{xy}e^{xy}x1y^{1-1}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{1-1}+ 0$$  


Napokon celý výraz ešte upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x1y^{0}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{0}$$
$$f''_{xy}=e^{xy}x\cdot (xy+1) + e^{xy}x=e^{xy}x\cdot ((xy+1)+1)$$

Záverom skonštatujeme, že $f''_{xyy}=e^{xy}x(xy+2)$.