Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 6: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}.$$ 

Riešenie: Najskôr si uvedenú limitu zjednodušíme využitím nasledujúcej vedomosti, že pre ľubovoľnú funkciu $f(X)$ platí: ak existuje $\lim_{X\to X_0} k\cdot f(X)$, tak táto je rovná $k \cdot\lim_{X\to X_0} f(X)$ pre ľubovoľnú konštantu $k\in\mathbb{R}$. Teda: 

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}= 4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$$

Teraz dosadením $9$ za $x$ a $3$ za $y$ určíme typ limity - v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je nula. Typ limity "kladná konštanta lomené nula" je neurčitý typ limity. Pri takomto type limity si pomôžeme limitami z rôznych strán (niečo podobné ako jednostranné limity pri funkcii jednej premennej)

$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ a $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Tu sme zvolilli približovanie sa po priamke, pričom jednu súradnicu bodu sme zafixovali. (Ak hodnoty týchto limít sú rôzne, výsledná limita funkcie $h(x,y)=\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, a teda ani $g(x,y)=4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, v danom bode $X_0=[x_0,y_0]=[9,3]$ neexistuje.)

Určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku väčšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne však zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $3,001$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak kladné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula kladná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak kladné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu kladné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)$$

Teraz určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku menšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne opäť zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $2,999$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak záporné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula záporná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak záporné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu záporné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(-\infty)$$

Nakoľko limita z jednej strany je iná ako limita rátaná z inej strany, $$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)\neq(- \infty)=\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x},$$

zhodnotíme, že $\lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ neexistuje, teda neexistuje ani 

 $4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, ani $ \lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$.