Processing math: 100%

Sunday, April 5, 2015

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 6: Vypočítajte (ak existuje)
\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}. 

Riešenie: Najskôr si uvedenú limitu zjednodušíme využitím nasledujúcej vedomosti, že pre ľubovoľnú funkciu f(X) platí: ak existuje \lim_{X\to X_0} k\cdot f(X), tak táto je rovná k \cdot\lim_{X\to X_0} f(X) pre ľubovoľnú konštantu k\in\mathbb{R}. Teda

\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}= 4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}
Teraz dosadením 9 za x a 3 za y určíme typ limity - v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je nula. Typ limity "kladná konštanta lomené nula" je neurčitý typ limity. Pri takomto type limity si pomôžeme limitami z rôznych strán (niečo podobné ako jednostranné limity pri funkcii jednej premennej)
\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x} a \lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}. Tu sme zvolilli približovanie sa po priamke, pričom jednu súradnicu bodu sme zafixovali. (Ak hodnoty týchto limít rôzne, výsledná limita funkcie h(x,y)=\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}, a teda ani g(x,y)=4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}, v danom bode X_0=[x_0,y_0]=[9,3] neexistuje.)

Určme typ limity \lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}. Dosadením 9 za x a o trošku väčšieho čísla ako 3 za y (limitne však zachovávame y\to 3, dosadzujeme napríklad číslo 3,001) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak kladné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula kladná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak kladné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu kladné nekonečno. Môžeme teda písať:
\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)

Teraz určme typ limity \lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}. Dosadením 9 za x a o trošku menšieho čísla ako 3 za y (limitne opäť zachovávame y\to 3, dosadzujeme napríklad číslo 2,999) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak záporné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula záporná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak záporné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu záporné nekonečno. Môžeme teda písať:
\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(-\infty)

Nakoľko limita z jednej strany je iná ako limita rátaná z inej strany, \lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)\neq(- \infty)=\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x},
zhodnotíme, že \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x} neexistuje, teda neexistuje ani 
 4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}, ani \lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}

No comments:

Post a Comment