Funkcia viac premenných
Derivácia funkcie viac premenných
Príklad 2: Vypočítajte prvú parciálnu deriváciu funkcie f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}} podľa premennej z v bode A=[\pi,2,1].
Riešenie: Rátať deriváciu funkcie v bode znamená predovšetkým rátať deriváciu funkcie. Aj v tomto prípade teda najskôr zrátame všeobecný tvar derivácie funkcie podľa premennej z a do vzniklejšieho výrazu následne dosadíme súradnice bodu A (vo všetkých výskytoch premennej x v získanom výraze ju nahradíme číslom \pi, premennú y nahradíme číslom 2 a z číslom 1), čím získame (číselnú) hodnou derivácie funkcie v danom bode. (Derivácia funkcie v bode je vždy vyjadrená číselnou hodnotou, nie neurčitým výrazom!)
Naša funkcia má tvar podielu, preto najskôr využijeme vzťah IV.:
f'_z=\frac{[\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}]'_z\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot[3y^{3}-2^{z}]'_z}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}
Aj keď sa toto vyjadrenie môže zdať byť zložité, čo do derivácie v ňom ostáva zderivovať len výrazy
I_1=\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z} a I_2=3y^{3}-2^{z}.
Začnime výrazom I_1 a upravme ho podľa II.:
[I_1]'_z=[\sin{3x}]'_z-[y^{2}z\cdot\ln{z}]_z
Menšenec daného výrazu neobsahuje premennú z, teda jeho derivácia podľa tejto premennej bude nulová. Menšiteľ je vzhľadom na premennú z v tvare súčinu. Preto na jeho úpravu použijeme vzťah III. (Pozor na záporné znamienko pred zátvorkou, vynucuje si jej existenciu!):
[I_1]'_z=0-([y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}+y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z)
Odstránime zátvorku:
[I_1]'_z=-[y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z
Na prvý výraz aplikujeme I. a na druhý 5.:
[I_1]'_z=-y^{2}[z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot\frac{1}{z}
Prvý výraz upravíme pomocou 2., druhý krátením zjednodušíme a dostaneme výsledný tvar [I_1]'_z:
[I_1]'_z=-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2}
Teraz zderivujme výraz I_2. Najskôr ho upravíme podľa II.:
[I_2]'_z=[3y^{3}]'_z-[2^{z}]'_z
Menšenec daného rozdielu nie je funkciou premennej z, teda jeho derivácia podľa z je podľa 1. rovná nule (aby nedošlo ku chybe znamienka menšiteľa, radšej pri prvotnej úprave výrazu [I_2]'_z túto nulu napíšeme). Menšiteľ zderivujeme podľa 4. a dostaneme:
[I_2]'_z=0-2^{z}\cdot\ln{2}
Výrazy [I_1]'_z a [I_2]'_z dosadíme na patričné miesto vo vyjadrení f'_z:
f'_z=\frac{(-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2})\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot(-2^{z}\cdot\ln{2})}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}
Teraz do f_z dosadíme súradnice bodu A a upravíme:
f'_z(A)=\frac{(-2^{2}1\cdot\ln{1}-2^{2})\cdot(3.2^{3}-2^{1})-(\sin{3\pi}-2^{2}1\cdot\ln{1})\cdot(-2^{1}\cdot\ln{2})}{(3.2^{3}-2^{1})^{2}}
f'_z(A)=\frac{(-4\cdot 0-4)\cdot(3.8-2)-(0-4\cdot 0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(3.8-2)^{2}}
f'_z(A)=\frac{(0-4)\cdot(24-2)-(0-0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(24-2)^{2}}
f'_z(A)=\frac{(-4)\cdot(22)-0}{(22)^{2}}=\frac{(-4)\cdot 22}{22^{2}}
Tu je vhodné si všimnúť, že je vhodnejšie získaný zlomok krátiť 22, než 22 umocňovať na druhú:
f'_z(A)=-\frac{4}{22}=-\frac{2}{11}
Záverom môžeme skonštatovať, že parciálna derivácia funkcie f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}} podľa premennej z v bode A=[\pi,2,1] je rovná -\frac{2}{11}.