Analytická geometria - Kužeľosečky

Analytická geometria

Kužeľosečky

Príklad 1

Rozhodnite, či nasledujúca rovnica je analytickým vyjadrením elipsy
$$9x^2+25y^2-54x-100y-44=0.$$

Riešenie

Danú rovnicu upravíme na stredový tvar kužeľosečky.

$$\begin{array}{lcr} 9x^2+25y^2-54x-100y-44&=&0\\ 9(x^2-6x)+25(y^2-4y)&=&44\\ 9[(x-3)^2-9]+25[(y-2)^2-4]&=&44\\ 9(x-3)^2-81+25(y-2)^2-100&=&44\\ 9(x-3)^2+25(y-2)^2&=&225\\ \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}&=&1 \end{array}$$

Rovnica  $$\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$$ je stredová rovnica elipsy so stredom v bode $S=[3,2]$, dĺžkou hlavnej poloosi $a=5$, dĺžkou vedľajšej poloosi $b=3$ a excentricitou $e^2=a^2-b^2$, t.j. $e=4$.

Často sa k popisu elipsy uvádzajú aj súradnice významných bodov kužeľosečky. Pri elipse sú to

• súradnice ohnísk sú  $F_1=[3-4,2]$ a $F_2=[3+4,2]$, t.j. $F_1=[-1,2]$ a $F_2=[7,2]$,
• súradnice hlavných vrcholov elipsy sú $A=[3-5,2]$ a $B=[3+5,2]$ a , t.j. $A=[-2,2]$ a $B=[8,2]$,
• súradnice  vedľajších vrcholov elipsy sú $C=[3,2+3]$ a $D=[3,2-3]$, t.j. $C=[3,5]$ a $D=[3,-1]$.

Súčasťou riešenia je náčrt samotnej elipsy.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou $z=4-x^{2}-y^{2}$.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.$

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami $x=0$ a $y=0$:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
$R_{yz}:\ x=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $x$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorú možno prepísať do tvaru: $(y-0)^{2}+(z-4)=0$ a je rovnicou paraboly. Prienik roviny $x=0$ s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou $R_{xz}:\ y=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $y$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny $y=0$ s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou $R_{xy}$, konkrétne $z=4$, $z=3$, $z=0$ a $z=-5$. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre $z>4$, nakoľko pre takéto $z$ je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za $z$ môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako $4$. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla $4$ za $z$ do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0$, ktorá má riešenie len pre $[x,y]=[0,0]$ - bod. Teda prienik roviny $z=4$ s našim telesom je bod $[x,y,z]=[0,0,4]$.
Dosadením čísla $3$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0$, teda rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0$ a po úprave $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1$, ktorá je v rovine $z=3$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $1$.
Analogicky dosadením čísla $0$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4$, ktorá je v rovine $z=0$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $2$. 
Podobne dosadením čísla $-5$ za $z$ analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9$, ktorá je v rovine $z=-5$ rovnicou kružnice so stredom v bode
$[x,y]=[0,0]$ a polomerom $3$.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
$[x,y,z]=[0,0,4]$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta 

2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ 

3. $[e^{x}]'=e^{x}$ 

4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$ 

5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$ 

6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$ 

7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$ 

8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$ 

9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ 

10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ 

11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$ 

14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$ 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$ 

II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$ 

III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ 

IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$ 

V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 

Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Analytická geometria

Analytická geometria

Uloh dvoch priamok v 2D priestore

Príklad 2

Vypočítajte uhol priamok $p$ a $q$, ak
$p:\begin{cases} x=2+t\\ y=3-2t, t\in\mathbb{R} \end{cases}$ a $q:4x+2y+8=0$.

Riešenie:
Uhol dvoch priamok môžeme vypočítať pomocou  vzťahu:

$$\cos\alpha=\frac{|\vec{s}_p\cdot \vec{s}_q|}{|\vec{s}_p||\vec{s}_q|},$$

kde $\vec{s}_p$ je smerový vektor priamky $p$ a $\vec{s}_q$ je smerový vektor priamky $q$, v čitateli sa nachádza skalárny súčin týchto vektorov a v menovateli súčin ich veľkostí.

Smerový vektor priamky $p$, $\vec{s}_p$, vypočítame z jej parametrického vyjadrenia: $$X=A+\vec{s}_{p}t;\ t\in\mathbb{R}.$$

$p:\begin{cases}
x=2+t \\ y=3-2t, t\in\mathbb{R}\end{cases}$a$\vec{s}_p=(1,-2)$.

Zo všeobecnej rovnice priamky $q$ vieme vypočítame normálový vektor priamky $q$, $\vec{n}_q=(4,2)$.
Smerový vektor priamky $q$, $\vec{s}_q$ je kolmý na $\vec{n}_q$ a keďže skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je rovný nula, možno ho nájsť vzájomnou zámenou súradníc vektora $\vec{n}_q$ a zmenou znamienka jednej zo súradníc na opačne: $\vec{s}_q=(-2,4)$.

Po dosadení súradníc smerových vektorov priamok do horeuvedeného vzorca dostávame
$$\cos\alpha=\frac{|(1,-2)\cdot(-2,4)|}{|(1,-2)|\cdot|(-2,4)|}=\frac{|1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4|}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|-10|}{\sqrt{5}\sqrt{20}}=1.$$
Keďže $\alpha=\arccos 1=0$, priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné a zvierajú uhol $0$ stupňov.

Analytická geometria v 3D

Analytická geometria v 3D 

Vzdialenosť dvoch priamok v 3D priestore

Príklad 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$. Ak sú priamky rôznobežné nájdite ich priesečník. Ak rovnobežné rôzne alebo mimobežné, vypočítajte ich vzdialenosť.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametrickými rovnicami. Z tohto vyjadrenia je možné priamo určiť súradnice bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ a bod $A=[2,3,0]$.

$$q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$ a bod $B=[4,0,3]$.

Vektor  $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ je násobkom vektora $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne závislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rovnobežné totožné alebo rovnobežné rôzne.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné, tak každý bod priamky $p$ je zároveň aj bodom priamky $q$.
• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne, tak nemajú žiaden spoločný bod.  V tomto  prípade má význam vypočítať vzialenosť priamok  $p$ a $q$ (viď. nižšie). 

Ukážeme, že priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne. Teda ukážeme,  že ľubovoľný bod patriaci priamke $p$ nepatrí priamke $q$.

Nech $A$ so súradnicami $A=[2,3,0]$ je bod patriaci priamke $p$. Ukážeme, že tento bod nepatrí priamke $q$, t.j. $A\notin q$.
Teda
$$\begin{array}{rcl} 2=4-2s\\ 3= 6s\\ 0= 3-2s \end{array}$$
Z druhej rovnice vidieť, že $s=2$. Ale z tretej rovnice je $s=\frac{3}{2}$. Teda bod $A$ nepatrí priamke $q$. Keďže sme našli jeden bod, ktorý patrí priamke $p$ a zároveň nepatrí priamke $q$, znamená to, že priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné rôzne.

Ďalšou možnosťou ako overiť vzájomnú polohu dvoch piamok, je riešiť nasledujúcu sústavu rovníc.
$$\begin{array}{rcl} 2+t&=&4-2s\\ 3-3t&=&6s\\ t&=&3-2s \end{array}$$

• Ak sústava má nekonečne vela riešení, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné.
• Ak sústava nemá riešenie, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne (čo je náš prípad).

Určiť vzdialenosť dvoch priamok znamená, určiť najmenšiu možnú vzdialenosť.
Postup:

1. Skonštuujeme rovinu $\alpha$, ktorá je kolmá na obe priamky.
2. Určíme priesečniky roviny s danými priamkami. Výsledkom sú dva body. Jeden patriaci priamke $p$ a druhý patriaci priamke $q$. 
3. Určíme vzdialenosť týchto dvoch bodov.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá na tieto dve priamky, potom normalový vektor roviny je zároveň smerovým vektorom priamky. Keďže priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné (sú ich smerové vektory lineárne závisle) je jedno, ktorý z tých vektorov použijeme. 

Nech $$\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}=(1,-3,1).$$ A nech tejto rovine patrí bod $A$.

$$\begin{array}{lrcl} \alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ A\in\alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ &2-3\cdot 3+0+d&=&0\\ &-7+d&=&0\\ &d&=&7 \end{array}$$

Rovina $\alpha$ má rovnicu $x-3y+z-7=0$.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá aj na priamku $q$, majú spoločný prienik. Označme tento bod $M$. Jeho súradnice dostaneme ako riešenie nasledujúcej sústavy:
$$\begin{array}{rcl} x&=&4-2s\\ y&=& 6s\\ z&=& 3-2s\\ x-3y+z+7&=&0 \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} (4-2s)-3\cdot 6s+(3-2s)+7&=&0\\ 4-2s-18s+3-2s+7&=&0\\ -22s&=&-14\\ 22s&=&14\\ s&=&\frac{7}{11} \end{array}$$

Keďže bod $M$ patrí aj priamke $q$, tak jeho súradnice dopočítame:
$$\begin{array}{rcl} 4-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{30}{11}\\ 6\cdot \frac{7}{11}&=&\frac{42}{11}\\ 3-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{19}{11} \end{array}$$

Súradnice bodu $M$ sú $$M=\left[\frac{30}{11},\frac{42}{11},\frac{19}{11}\right].$$

Stačí už iba určiť vzdialenosť bodov $AM$.

$$\begin{array}{rcl} \left|AM\right|&=&\sqrt{\left(\frac{30}{11}-2\right)^2+\left(\frac{42}{11}-3\right)^2+\left(\frac{19}{11}-0\right)^2}\\ &=&\sqrt{\left(-\frac{8}{11}\right)^2+\left(-\frac{9}{11}\right)^2+\left(\frac{19}{11}\right)^2}\\ &=&\sqrt{\frac{64+81+361}{121}}\\ &=&\sqrt{\frac{506}{121}} \end{array}$$

Vzdialenosť priamok $p$ a $q$ je $\sqrt{\frac{506}{121}}$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie $$f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.$$
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej $x$: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
$$f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x.$$  
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú $x$, čiže pri derivovaní podľa $x$ treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz $\arcsin{3xy}$. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x$$  
Použitím I. dostaneme: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x$$
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej $x$ dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1}$$  
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0}$$  
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y$$

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej $y$:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y.$$ Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej $x$), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0$$  
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y}$$  
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y}$$  
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y}$$  
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y}$$  

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej $z$. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z$$  
Vzhľadom na premennú $z$ len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
$$f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0$$  
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
$$f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z$$  
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1}$$  
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4}$$  
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej $z$ zapíšeme v tvare: 
$$f'_z=-9z^{-4}\cos{y}$$

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami sa presvedčte o tom, že plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$ je hyperboloidom.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru  $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ (viď predchádzajúci príklad). Roviny, ktorými budeme viesť rezy uvažovanej plochy zvolíme tak, aby boli rovnobežné so súradnicovými rovinami $R_{xy}$, $R_{yz}$ a $R_{xz}$ a tak, aby naše výpočty boli čo možno najjednoduchšie. Preto urobíme rezy plochy rovinami $x=4$, $y=(-1)$, $z=2$ (po dosadení $4$ za $x$, respektíve $(-1)$ za $y$ či $2$ za $z$ do rovnice $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ eliminujeme vždy jeden zo sčítancov a s ním aj jednu z premenných).
Rez plochy rovinou $x=4$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(4-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{yz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ so  stredom $S_{yz}=[n,s]=[-1,2]$ a s dĺžkami polosí $b=1$, $c=3$.
Rez plochy rovinou $y=(-1)$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(-1+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu elipsy $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ so stredom $S_{xz}=[m,s]=[4,2]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $c=3$.
´Napokon rez plochy rovinou $z=2$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}$$ so stredom $S_{xy}=[m,n]=[4,-1]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$.

Nakoľko rez plochy rovinami $x=4$ a $z=2$ predstavuje hyperbolu, kým rez plochy rovinou $y=(-1)$ je elipsa, plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$, respektíve rovnicou $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ je jednodielny hyperboloid (so stredom $S=[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$ a $c=3$).

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 1: Pomocou vhodnej úpravy rovnice $4y^{2}+x^{2}+z^{2}+12z+35=0$ určte druh plochy ňou určenej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do jednej zátvorky zlúčime všetky členy obsahujúce z: $4y^p{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$. (Podobne by sme postupovali aj s ostatnými premennými, ak by sa vyskytovali viac ako raz.)
Výraz $[z^{2}+12z]$ upravíme použitím vzťahu $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ na (úplný alebo neúplný) štvorec. Ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $z^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$. Po odmocnení $a=z$. Podobne výraz $12z$ by odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=z$ dáva rovnicu $12z=2zb$. Pre nenulové $z$ tak dostávame $6=b$. V takomto prípade $b^2=6^{2}=36$. Táto sa vo výraze $[z^{2}+12z]$ dá získať trikom, a to pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[z^{2}+12z]$, pričom samotné pripočítanie nuly k výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[z^{2}+12z]=[z^{2}+12z+0]$. Následne túto nulu zapíšeme v tvare rozdielu dvoch identických čísel, konkrétne je potrebné dané čísla postaviť rovné  $b^2=6^{2}=36$. Dostaneme výraz $[z^{2}+12z+0]=[z^{2}+12z+6^{2}-36]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(z^{2}+2.6z+6^{2})-36]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne nahradiť výrazom $(z+6)^{2}$ na základe podobnosti so vzťahom $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ pre $a=z$ a $b=6$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[z^{2}+12z]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[z^{2}+12z]=[(z^{2}+12z+6^{2})-36]=[(z+6)^{2}-36]$.

Následne možno rovnicu
$$4y^{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$$
previesť na tvar
$$4y^{2}+x^{2}+[(z+6)^{2}-36]+35=0$$
a následne upraviť.
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-36+35=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{(z+6)^{2}}{1}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
Táto rovnica pre $m=0$, $n=0$, $s=-6$, $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$ odpovedá rovnici elipsoidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c^{2}}=1.$$  
Naša plocha je teda elipsoid so stredom $[m,n,s]=[0,0,6]$ a dĺžkami polosí: $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$. 

Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Lokálne extrémy funkcie

Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4.$$

Riešenie:
Nájdeme stacionárne body funkcie.

Vypočítame parciálne derivácie pravého rádu.
$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& -4xy+8x^3\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 2y-2x^2 \end{array}$$

Položíme parciálne derivácie prvého rádu rovné nule a riešime sústavu rovníc
$$\begin{array}{rcl}  -4xy+8x^3&=&0\\  2y-2x^2&=&0. \end{array}$$

Z druhej rovnice vyjadríme jednu neznámu, napr. $y=x^2$ a dosadíme do prvej rovnice, čím dostávame

$$\begin{array}{rcl}  -4x^3+8x^3&=&0\\  4x^3&=&0\\  x^3&=&0\\  x&=&0. \end{array}$$

Existuje jediný stacionárny bod funkcie $f(x,y)$ so súradnicami $A=[0,0]$. Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či v tomto bode existuje extrém.

Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu
$$\begin{array}{ccl} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& -4y+24x^2\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& -4x\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 2\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& -4x \end{array}$$

do predpisov takto získaných funkcií dosadíme súradnice stacionárneho bodu a vypočítame determinant

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr} 0& 0\\ 0 & 2\\ \end{array} \right\vert = 0.$$

Keďže je determinant rovný nule, o existencii lokálneho extrému v bode $A$ nevieme na základe postačujúcej podmienky existencie extrému rozhodnúť.

Vyšetríme funkciu $f(x,y)$ v okolí stacionárneho bodu $A$ inými metódami, napríklad otestujeme funkčné hodnoty v okolí bodu $A$.

Funkčné hodnoty v okolí body $A$ vyšetríme pomocou upraveného predpisu funkcie
$$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4=(y-x^2)^2-x^4+2x^4=(y-x^2)^2+x^4.$$
Vidíme, že výraz $(y-x^2)^2+x^4$ je vždy kladný. Nulovú hodnotu nadobudne iba, ak $x=0$ a zároveň $y=0$.  Teda v bode $A$ je lokálne minimum funkcie $f(x,y)$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.$$  

Riešenie:  Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po priamkách:

$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=$  

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
 

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=0$ má hodnotu $1$, kým pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$), odvodíme, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Derivácia v smere

Príklad 1: Vypočítajte deriváciu funkcie $f(x,y,z)=(x-y)z^2+(3x+y-35)z-1$ v bode $A=[1,2,5]$ v smere vektora $\vec{l}=\left(1,-1,1\right).$

Riešenie:
Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora vypočítame podľa vzťahu:
$$\frac{df(A)}{\vec{l}^o}=grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o$$

Celý výpočet derivácie funkcie v bode A v smere vektora je možné rozdeliť do nasledujúcich krokov.

1. Výpočet gradientu funkcie v bode A.
2. Normovananie vektora.
3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode A v smere vektora l.  

1. Výpočet gradientu funkcie:
Gradient funkcie označujeme $grad\, f(A)$ a vypočítame ho nasledovne:
$$\left(\frac{\partial f(A)}{\partial x}, \frac{\partial f(A)}{\partial y}, \frac{\partial f(A)}{\partial z}\right).$$
Keďže daná funkcia $f(x,y,z)$ je funkciou troch premenných aj gradient je vektor, ktorý ma tri zložky.

Najprv vypočítame derivácie prvého rádu podľa jednotlivých premenných. Dostávame nasledujúce funkcie
$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}&=&z^2+3z\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}&=&-z^2+z\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}&=&2(x-y)z+3x+y-35. \end{array}$$

Dosadíme súradnice bodu $A$ do predpisov jednotlivých funkcií a výpočítame súradnice gradientu funkcie $f$ v bode $A$.
$$\begin{array}{rclcl} \frac{\partial f(A)}{\partial x}&=&5^2+3\cdot 5&=&40\\ \frac{\partial f(A)}{\partial y}&=&-5^2+5&=&-20\\ \frac{\partial f(A)}{\partial z}&=&2(1-2)\cdot 5+3\cdot 1+2-35&=&-40. \end{array}$$

Gradient funkcie v bode $A$ je usporiadaná trojica čísel (vektor) $$grad\, f(A)=(40, -20, -40).$$

2. Normovananie vektora:
Vektor $\vec{l}$ nie je jednotkový, lebo jeho veľkosť nie je rovná číslu $1$: $$\left|\vec{l}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}\neq 1.$$

Vektor $\vec{l}$ znormujeme tak, že každú zložku vektora  $\vec{l}$  vydelíme jeho veľkosťou a dostávame

$$\vec{l}^o=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$$

Poznámka: Normovaný vektor už je jednotkový.

3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$:

$$\begin{array}{rcl} \frac{df(A)}{\vec{l}^o}&=&grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o\\ &=&(40, -20, -40)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\ &=&40\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+(-40)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &=& \frac{40}{\sqrt{3}}+\frac{20}{\sqrt{3}}-\frac{40}{\sqrt{3}}\\ &=&\frac{20}{\sqrt{3}}. \end{array}$$

Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$ je $\frac{20}{\sqrt{3}}$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

 Lineárne útvary v 3D

Príklad 1: Nájdite všeobecné rovnice priamky $p$, ktorej parametrické rovnice sú:
$$p:\begin{cases} x= 2-t\\ y= 1+4t\\ z= -3+2t, t\in\mathrm{R} \end{cases}$$

Riešenie: Všeobecná rovnica priamky v priestore (v 3D) neexistuje. Pozor v 2D existujú obe vyjadrenia priamky. 

Priamku je možné v priestore vyjadriť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Práve o takéto vyjadrenie ide, ak je potrebné hľadať všeobecné rovnice priamky v 3D.

Dá sa povedať, že jednu priamku môžeme vyjadriť ako priesečnicu rôznych dvoch rovín. Princíp takého vyjadrenia spočíva v eliminácií parametra $t$.

Ak $t$ ($t=2-x$) vyjadríme z prvej rovnice, tak
$$\begin{array}{ccc} y&=&1+4(2-x)\\ z&=&-3+2(2-x) \end{array}$$
Teda:
$$\begin{array}{ccc} 4x+y-9&=&0\\ 2x+z-1&=&0 \end{array}$$

Záver: Priamka $p$ je priečnicou roviny $\alpha: 4x+y-9=0$ a $\beta: 2x+z-1=0$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 2: Pomocou vhodnej úpravy rovnice
$$x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$$ určte druh plochy ňou popísanej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do zátvoriek zlúčime sčítance obsahujúce rovnakú premennú (t.j. do jednej zátvorky dáme všetky výrazy s $x$, do druhej všetky výrazy s $y$ a do tretej všetky výrazy obsahujúce premennú $z$):
$[x^{2}-8x]+[-81y^{2}-162y]+[9z^{2}-36z]-110=0$. Ak sa v príslušných zátvorkách pri kvadratických členoch súčtu (druhých mocninách premennej) nachádzajú koeficienty rôzne od $1$, tieto vyberieme pred tú-ktorú zátvorku. V našom prípade týmto dostaneme rovnicu: $[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$. (Pozor na znamienka pri vyberaní záporného čísla pred zátvorku!) Každý z výrazov v zátvorke následne upravíme na (úplný alebo neúplný) štvorec, pričom využijeme vzťahy $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ a $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$.

Uvažujme výraz $[x^{2}-8x]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko mínus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $x^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=x$. Analogicky výraz $-8x$ by odpovedal výrazu $-2ab$, teda $8x=2ab$, čo pre $a=x$ (viď vyššie) dáva rovnicu $8x=2xb$, čo pre nenulové $x$ môžeme výrazom $2x$ podeliť a dostaneme  $b=4$. V takomto prípade by potom výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $4^{2}$, teda $16$. Táto sa vo výraze
$[x^{2}-8x]$ dá získať trikom, konkrétne pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[x^{2}-8x]$. Samotné pripočítanie nuly k ľubovoľnému výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+0]$. Túto nulu môžeme zapísať v tvare rozdielu dvoch identických čísel. Pre náš účel úpravy na štvorec je potrebné dané čísla postaviť rovné hodnote $b=4^{2}=16$. Dostaneme výraz $[x^{2}-8x+0]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(x^{2}-2.4x+4^{2})-16]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne upraviť použitím pravej strany vzťahu $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ na tvar $(x-4)^{2}$, nakoľko, ako sme uviedli vyššie, tu $a=x$ a $b=4$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[x^{2}-8x]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]=[(x-4)^{2}-16]$.

Analogicky budeme postupovať v prípade výrazu $[y^{2}+2y]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko plus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $y^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=y$. Výraz $2y$ by tu  odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=y$ dáva $b=1$. V takomto prípade by výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $16^{2}$, teda $1$. Opäť ju vo výraze $[y^{2}+2y]$ dostaneme trikom pripočítavania nuly vo vhodnom tvare:
$[y^{2}+2y]=[y^{2}+2y+0]=[y^{2}+2y+1^{2}-1]$. Následne prvé tri členy súčtu zlúčime do jednej zátvorky, pričom vieme, že sú ekvivalentné s ľavou stranou vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ môžeme postupne písať:
$[y^{2}+2y+1^{2}-1]=[(y^{2}+2y+1^{2})-1]=[(y+1)^{2}-1]$. Tým sme výraz $[y^{2}+2y]$ upravili na (neúplný) štvorec.

Napokon pomocou vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ upravíme výraz $[z^{2}-4z]$. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch tu na základe porovnania prvých členov výrazu dostaneme $a=z$. Z rovnosti výrazov $-2ab=-4z$ pre $a=z$ dostaneme $2zb=4z$, čo pre nenulové $z$ dáva $b=2$. Teda $b^{2}=2^{2}=4$. Opäť na základe pripočítavania nuly vo vhodnom tvare k výrazu $[z^{2}-4z]$ môžeme písať: $[z^{2}-4z]=[z^{2}-4z+0]=[z^{2}-4z+2^{2}-4]=[(z^{2}-4z+2^{2})-4]$. Výraz v oblej zátvorke na základe ekvivalentnosti ($z=a$, $2=b$) a podľa vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ nahradíme výrazom $z-2$, čím dostaneme hľadanú úpravu výrazu $[z^{2}-4z]$ na tvar $[(z-2)^{2}-4]$.

Teraz už môžeme rovnicu
$$[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$$ prepísať do tvaru
$$[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0.$$
Následne roznásobíme výrazy v zátvorkách pred nimi stojacimi koeficientami (viď nižšie) a vypočítame hodnotu absolútneho člena. 
$$1.[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0$$
$$(x-4)^{2}-16+(-81).(y+1)^{2}+81+9(z-2)^{2}-36-110=0$$
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}-81=0$$
Ďalšími úpravami dostaneme:
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}=81$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{81.(y+1)^{2}}{81}+\frac{9(z-2)^{2}}{81}=\frac{81}{81}$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{(y+1)^{2}}{1}+\frac{(z-2)^{2}}{9}=1$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{36^{2}}=1$$
Táto rovnica odpovedá rovnici jednodielneho hyperboloidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c6^{2}}=1$$
pre $m=4$, $n=-1$, $s=2$, $a=9$, $b=1$ a $c=3$.
Naša plocha je teda jednodielny hyperboloid so stredom $[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $9$, $1$ a $3$.