Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 2: Pomocou vhodnej úpravy rovnice
$$x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$$ určte druh plochy ňou popísanej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do zátvoriek zlúčime sčítance obsahujúce rovnakú premennú (t.j. do jednej zátvorky dáme všetky výrazy s $x$, do druhej všetky výrazy s $y$ a do tretej všetky výrazy obsahujúce premennú $z$):
$[x^{2}-8x]+[-81y^{2}-162y]+[9z^{2}-36z]-110=0$. Ak sa v príslušných zátvorkách pri kvadratických členoch súčtu (druhých mocninách premennej) nachádzajú koeficienty rôzne od $1$, tieto vyberieme pred tú-ktorú zátvorku. V našom prípade týmto dostaneme rovnicu: $[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$. (Pozor na znamienka pri vyberaní záporného čísla pred zátvorku!) Každý z výrazov v zátvorke následne upravíme na (úplný alebo neúplný) štvorec, pričom využijeme vzťahy $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ a $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$.

Uvažujme výraz $[x^{2}-8x]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko mínus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $x^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=x$. Analogicky výraz $-8x$ by odpovedal výrazu $-2ab$, teda $8x=2ab$, čo pre $a=x$ (viď vyššie) dáva rovnicu $8x=2xb$, čo pre nenulové $x$ môžeme výrazom $2x$ podeliť a dostaneme  $b=4$. V takomto prípade by potom výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $4^{2}$, teda $16$. Táto sa vo výraze
$[x^{2}-8x]$ dá získať trikom, konkrétne pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[x^{2}-8x]$. Samotné pripočítanie nuly k ľubovoľnému výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+0]$. Túto nulu môžeme zapísať v tvare rozdielu dvoch identických čísel. Pre náš účel úpravy na štvorec je potrebné dané čísla postaviť rovné hodnote $b=4^{2}=16$. Dostaneme výraz $[x^{2}-8x+0]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(x^{2}-2.4x+4^{2})-16]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne upraviť použitím pravej strany vzťahu $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ na tvar $(x-4)^{2}$, nakoľko, ako sme uviedli vyššie, tu $a=x$ a $b=4$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[x^{2}-8x]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]=[(x-4)^{2}-16]$.

Analogicky budeme postupovať v prípade výrazu $[y^{2}+2y]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko plus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $y^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=y$. Výraz $2y$ by tu  odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=y$ dáva $b=1$. V takomto prípade by výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $16^{2}$, teda $1$. Opäť ju vo výraze $[y^{2}+2y]$ dostaneme trikom pripočítavania nuly vo vhodnom tvare:
$[y^{2}+2y]=[y^{2}+2y+0]=[y^{2}+2y+1^{2}-1]$. Následne prvé tri členy súčtu zlúčime do jednej zátvorky, pričom vieme, že sú ekvivalentné s ľavou stranou vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ môžeme postupne písať:
$[y^{2}+2y+1^{2}-1]=[(y^{2}+2y+1^{2})-1]=[(y+1)^{2}-1]$. Tým sme výraz $[y^{2}+2y]$ upravili na (neúplný) štvorec.

Napokon pomocou vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ upravíme výraz $[z^{2}-4z]$. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch tu na základe porovnania prvých členov výrazu dostaneme $a=z$. Z rovnosti výrazov $-2ab=-4z$ pre $a=z$ dostaneme $2zb=4z$, čo pre nenulové $z$ dáva $b=2$. Teda $b^{2}=2^{2}=4$. Opäť na základe pripočítavania nuly vo vhodnom tvare k výrazu $[z^{2}-4z]$ môžeme písať: $[z^{2}-4z]=[z^{2}-4z+0]=[z^{2}-4z+2^{2}-4]=[(z^{2}-4z+2^{2})-4]$. Výraz v oblej zátvorke na základe ekvivalentnosti ($z=a$, $2=b$) a podľa vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ nahradíme výrazom $z-2$, čím dostaneme hľadanú úpravu výrazu $[z^{2}-4z]$ na tvar $[(z-2)^{2}-4]$.

Teraz už môžeme rovnicu
$$[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$$ prepísať do tvaru
$$[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0.$$
Následne roznásobíme výrazy v zátvorkách pred nimi stojacimi koeficientami (viď nižšie) a vypočítame hodnotu absolútneho člena. 
$$1.[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0$$
$$(x-4)^{2}-16+(-81).(y+1)^{2}+81+9(z-2)^{2}-36-110=0$$
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}-81=0$$
Ďalšími úpravami dostaneme:
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}=81$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{81.(y+1)^{2}}{81}+\frac{9(z-2)^{2}}{81}=\frac{81}{81}$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{(y+1)^{2}}{1}+\frac{(z-2)^{2}}{9}=1$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{36^{2}}=1$$
Táto rovnica odpovedá rovnici jednodielneho hyperboloidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c6^{2}}=1$$
pre $m=4$, $n=-1$, $s=2$, $a=9$, $b=1$ a $c=3$.
Naša plocha je teda jednodielny hyperboloid so stredom $[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $9$, $1$ a $3$.