Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami sa presvedčte o tom, že plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$ je hyperboloidom.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru  $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ (viď predchádzajúci príklad). Roviny, ktorými budeme viesť rezy uvažovanej plochy zvolíme tak, aby boli rovnobežné so súradnicovými rovinami $R_{xy}$, $R_{yz}$ a $R_{xz}$ a tak, aby naše výpočty boli čo možno najjednoduchšie. Preto urobíme rezy plochy rovinami $x=4$, $y=(-1)$, $z=2$ (po dosadení $4$ za $x$, respektíve $(-1)$ za $y$ či $2$ za $z$ do rovnice $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ eliminujeme vždy jeden zo sčítancov a s ním aj jednu z premenných).
Rez plochy rovinou $x=4$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(4-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{yz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ so  stredom $S_{yz}=[n,s]=[-1,2]$ a s dĺžkami polosí $b=1$, $c=3$.
Rez plochy rovinou $y=(-1)$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(-1+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu elipsy $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ so stredom $S_{xz}=[m,s]=[4,2]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $c=3$.
´Napokon rez plochy rovinou $z=2$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}$$ so stredom $S_{xy}=[m,n]=[4,-1]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$.

Nakoľko rez plochy rovinami $x=4$ a $z=2$ predstavuje hyperbolu, kým rez plochy rovinou $y=(-1)$ je elipsa, plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$, respektíve rovnicou $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ je jednodielny hyperboloid (so stredom $S=[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$ a $c=3$).