Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou $z=4-x^{2}-y^{2}$.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.$

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami $x=0$ a $y=0$:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
$R_{yz}:\ x=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $x$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorú možno prepísať do tvaru: $(y-0)^{2}+(z-4)=0$ a je rovnicou paraboly. Prienik roviny $x=0$ s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou $R_{xz}:\ y=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $y$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny $y=0$ s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou $R_{xy}$, konkrétne $z=4$, $z=3$, $z=0$ a $z=-5$. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre $z>4$, nakoľko pre takéto $z$ je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za $z$ môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako $4$. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla $4$ za $z$ do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0$, ktorá má riešenie len pre $[x,y]=[0,0]$ - bod. Teda prienik roviny $z=4$ s našim telesom je bod $[x,y,z]=[0,0,4]$.
Dosadením čísla $3$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0$, teda rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0$ a po úprave $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1$, ktorá je v rovine $z=3$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $1$.
Analogicky dosadením čísla $0$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4$, ktorá je v rovine $z=0$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $2$. 
Podobne dosadením čísla $-5$ za $z$ analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9$, ktorá je v rovine $z=-5$ rovnicou kružnice so stredom v bode
$[x,y]=[0,0]$ a polomerom $3$.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
$[x,y,z]=[0,0,4]$.