Analytická geometria v 3D

Analytická geometria v 3D 

Vzdialenosť dvoch priamok v 3D priestore

Príklad 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$. Ak sú priamky rôznobežné nájdite ich priesečník. Ak rovnobežné rôzne alebo mimobežné, vypočítajte ich vzdialenosť.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametrickými rovnicami. Z tohto vyjadrenia je možné priamo určiť súradnice bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ a bod $A=[2,3,0]$.

$$q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$ a bod $B=[4,0,3]$.

Vektor  $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ je násobkom vektora $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne závislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rovnobežné totožné alebo rovnobežné rôzne.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné, tak každý bod priamky $p$ je zároveň aj bodom priamky $q$.
• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne, tak nemajú žiaden spoločný bod.  V tomto  prípade má význam vypočítať vzialenosť priamok  $p$ a $q$ (viď. nižšie). 

Ukážeme, že priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne. Teda ukážeme,  že ľubovoľný bod patriaci priamke $p$ nepatrí priamke $q$.

Nech $A$ so súradnicami $A=[2,3,0]$ je bod patriaci priamke $p$. Ukážeme, že tento bod nepatrí priamke $q$, t.j. $A\notin q$.
Teda
$$\begin{array}{rcl} 2=4-2s\\ 3= 6s\\ 0= 3-2s \end{array}$$
Z druhej rovnice vidieť, že $s=2$. Ale z tretej rovnice je $s=\frac{3}{2}$. Teda bod $A$ nepatrí priamke $q$. Keďže sme našli jeden bod, ktorý patrí priamke $p$ a zároveň nepatrí priamke $q$, znamená to, že priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné rôzne.

Ďalšou možnosťou ako overiť vzájomnú polohu dvoch piamok, je riešiť nasledujúcu sústavu rovníc.
$$\begin{array}{rcl} 2+t&=&4-2s\\ 3-3t&=&6s\\ t&=&3-2s \end{array}$$

• Ak sústava má nekonečne vela riešení, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné.
• Ak sústava nemá riešenie, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne (čo je náš prípad).

Určiť vzdialenosť dvoch priamok znamená, určiť najmenšiu možnú vzdialenosť.
Postup:

1. Skonštuujeme rovinu $\alpha$, ktorá je kolmá na obe priamky.
2. Určíme priesečniky roviny s danými priamkami. Výsledkom sú dva body. Jeden patriaci priamke $p$ a druhý patriaci priamke $q$. 
3. Určíme vzdialenosť týchto dvoch bodov.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá na tieto dve priamky, potom normalový vektor roviny je zároveň smerovým vektorom priamky. Keďže priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné (sú ich smerové vektory lineárne závisle) je jedno, ktorý z tých vektorov použijeme. 

Nech $$\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}=(1,-3,1).$$ A nech tejto rovine patrí bod $A$.

$$\begin{array}{lrcl} \alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ A\in\alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ &2-3\cdot 3+0+d&=&0\\ &-7+d&=&0\\ &d&=&7 \end{array}$$

Rovina $\alpha$ má rovnicu $x-3y+z-7=0$.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá aj na priamku $q$, majú spoločný prienik. Označme tento bod $M$. Jeho súradnice dostaneme ako riešenie nasledujúcej sústavy:
$$\begin{array}{rcl} x&=&4-2s\\ y&=& 6s\\ z&=& 3-2s\\ x-3y+z+7&=&0 \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} (4-2s)-3\cdot 6s+(3-2s)+7&=&0\\ 4-2s-18s+3-2s+7&=&0\\ -22s&=&-14\\ 22s&=&14\\ s&=&\frac{7}{11} \end{array}$$

Keďže bod $M$ patrí aj priamke $q$, tak jeho súradnice dopočítame:
$$\begin{array}{rcl} 4-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{30}{11}\\ 6\cdot \frac{7}{11}&=&\frac{42}{11}\\ 3-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{19}{11} \end{array}$$

Súradnice bodu $M$ sú $$M=\left[\frac{30}{11},\frac{42}{11},\frac{19}{11}\right].$$

Stačí už iba určiť vzdialenosť bodov $AM$.

$$\begin{array}{rcl} \left|AM\right|&=&\sqrt{\left(\frac{30}{11}-2\right)^2+\left(\frac{42}{11}-3\right)^2+\left(\frac{19}{11}-0\right)^2}\\ &=&\sqrt{\left(-\frac{8}{11}\right)^2+\left(-\frac{9}{11}\right)^2+\left(\frac{19}{11}\right)^2}\\ &=&\sqrt{\frac{64+81+361}{121}}\\ &=&\sqrt{\frac{506}{121}} \end{array}$$

Vzdialenosť priamok $p$ a $q$ je $\sqrt{\frac{506}{121}}$.