Funkcia viac premenných
Limita funkcie viac premenných
Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.$$
Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po priamkách:
$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=$
$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=0$ má hodnotu $1$, kým pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$), odvodíme, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}$ neexistuje.
No comments:
Post a Comment