Funkcia viac premenných
Limita funkcie viac premenných
Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) \lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.
Riešenie: Dosadením 0 za x a y určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu [x,y]=[0,0] po priamkách:
\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=
\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.
\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.
Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra k (t.j., napríklad pre k=0 má hodnotu 1, kým pre k=1 má hodnotu \frac{1}{2}), odvodíme, že \lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y} neexistuje.
No comments:
Post a Comment