Analytická geometria

Analytická geometria

Uloh dvoch priamok v 2D priestore

Príklad 2

Vypočítajte uhol priamok $p$ a $q$, ak
$p:\begin{cases} x=2+t\\ y=3-2t, t\in\mathbb{R} \end{cases}$ a $q:4x+2y+8=0$.

Riešenie:
Uhol dvoch priamok môžeme vypočítať pomocou  vzťahu:

$$\cos\alpha=\frac{|\vec{s}_p\cdot \vec{s}_q|}{|\vec{s}_p||\vec{s}_q|},$$

kde $\vec{s}_p$ je smerový vektor priamky $p$ a $\vec{s}_q$ je smerový vektor priamky $q$, v čitateli sa nachádza skalárny súčin týchto vektorov a v menovateli súčin ich veľkostí.

Smerový vektor priamky $p$, $\vec{s}_p$, vypočítame z jej parametrického vyjadrenia: $$X=A+\vec{s}_{p}t;\ t\in\mathbb{R}.$$

$p:\begin{cases}
x=2+t \\ y=3-2t, t\in\mathbb{R}\end{cases}$ a $\vec{s}_p=(1,-2)$.

Zo všeobecnej rovnice priamky $q$ vieme vypočítame normálový vektor priamky $q$, $\vec{n}_q=(4,2)$.
Smerový vektor priamky $q$, $\vec{s}_q$ je kolmý na $\vec{n}_q$ a keďže skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je rovný nula, možno ho nájsť vzájomnou zámenou súradníc vektora $\vec{n}_q$ a zmenou znamienka jednej zo súradníc na opačne: $\vec{s}_q=(-2,4)$.

Po dosadení súradníc smerových vektorov priamok do horeuvedeného vzorca dostávame
$$\cos\alpha=\frac{|(1,-2)\cdot(-2,4)|}{|(1,-2)|\cdot|(-2,4)|}=\frac{|1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4|}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|-10|}{\sqrt{5}\sqrt{20}}=1.$$
Keďže $\alpha=\arccos 1=0$, priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné a zvierajú uhol $0$ stupňov.