Analytická geometria
Uloh dvoch priamok v 2D priestore
Príklad 2
Vypočítajte uhol priamok p a q, akp:\begin{cases} x=2+t\\ y=3-2t, t\in\mathbb{R} \end{cases} a q:4x+2y+8=0.
Riešenie:
Uhol dvoch priamok môžeme vypočítať pomocou vzťahu:
\cos\alpha=\frac{|\vec{s}_p\cdot \vec{s}_q|}{|\vec{s}_p||\vec{s}_q|},
kde \vec{s}_p je smerový vektor priamky p a \vec{s}_q je smerový vektor priamky q, v čitateli sa nachádza skalárny súčin týchto vektorov a v menovateli súčin ich veľkostí.
Smerový vektor priamky p, \vec{s}_p, vypočítame z jej parametrického vyjadrenia: X=A+\vec{s}_{p}t;\ t\in\mathbb{R}.
$p:\begin{cases}
x=2+t \\ y=3-2t, t\in\mathbb{R}\end{cases} a \vec{s}_p=(1,-2)$.
Zo všeobecnej rovnice priamky q vieme vypočítame normálový vektor priamky q, \vec{n}_q=(4,2).
Smerový vektor priamky q, \vec{s}_q je kolmý na \vec{n}_q a keďže skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je rovný nula, možno ho nájsť vzájomnou zámenou súradníc vektora \vec{n}_q a zmenou znamienka jednej zo súradníc na opačne: \vec{s}_q=(-2,4).
Po dosadení súradníc smerových vektorov priamok do horeuvedeného vzorca dostávame
\cos\alpha=\frac{|(1,-2)\cdot(-2,4)|}{|(1,-2)|\cdot|(-2,4)|}=\frac{|1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4|}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|-10|}{\sqrt{5}\sqrt{20}}=1.
Keďže \alpha=\arccos 1=0, priamky p a q sú rovnobežné a zvierajú uhol 0 stupňov.
Dobrý deň, mohli by ste prosím za parametrickým vyjadrením upraviť výpočet namiesto toho príkazu? Ďakujem
ReplyDelete