Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

 Lineárne útvary v 3D

Príklad 1: Nájdite všeobecné rovnice priamky $p$, ktorej parametrické rovnice sú:
$$p:\begin{cases} x= 2-t\\ y= 1+4t\\ z= -3+2t, t\in\mathrm{R} \end{cases}$$

Riešenie: Všeobecná rovnica priamky v priestore (v 3D) neexistuje. Pozor v 2D existujú obe vyjadrenia priamky. 

Priamku je možné v priestore vyjadriť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Práve o takéto vyjadrenie ide, ak je potrebné hľadať všeobecné rovnice priamky v 3D.

Dá sa povedať, že jednu priamku môžeme vyjadriť ako priesečnicu rôznych dvoch rovín. Princíp takého vyjadrenia spočíva v eliminácií parametra $t$.

Ak $t$ ($t=2-x$) vyjadríme z prvej rovnice, tak
$$\begin{array}{ccc} y&=&1+4(2-x)\\ z&=&-3+2(2-x) \end{array}$$
Teda:
$$\begin{array}{ccc} 4x+y-9&=&0\\ 2x+z-1&=&0 \end{array}$$

Záver: Priamka $p$ je priečnicou roviny $\alpha: 4x+y-9=0$ a $\beta: 2x+z-1=0$.