Funkcia viac premenných
Derivácia funkcie viac premenných
Parciálne derivácie funkcie viac premenných
V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.
1. [c]'=0, kde c je konštanta
2. [x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}
3. [e^{x}]'=e^{x}
4. [a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}
5. [\ln{x}]'=\frac{1}{x}
6. [\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}
7. [\sin{x}]'=\cos{x}
8. [\cos{x}]'=-\sin{x}
9. [tg {x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}
10. [cotg {x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}
11. [\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
12. [\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
13. [arctg {x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}
14. [arccotg {x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}
Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá:
I. [c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)
II. [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)
III. [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
IV. [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}
V. [f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)
Pod označením c v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a f(x), g(x) predstavujú funkcie premennej x.
Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad f=f(x,y,z) podľa niektorej z premenných (napríklad y) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu x a z), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú x nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu y) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.
No comments:
Post a Comment