Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Derivácia v smere

Príklad 1: Vypočítajte deriváciu funkcie $f(x,y,z)=(x-y)z^2+(3x+y-35)z-1$ v bode $A=[1,2,5]$ v smere vektora $\vec{l}=\left(1,-1,1\right).$

Riešenie:
Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora vypočítame podľa vzťahu:
$$\frac{df(A)}{\vec{l}^o}=grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o$$

Celý výpočet derivácie funkcie v bode A v smere vektora je možné rozdeliť do nasledujúcich krokov.

1. Výpočet gradientu funkcie v bode A.
2. Normovananie vektora.
3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode A v smere vektora l.  

1. Výpočet gradientu funkcie:
Gradient funkcie označujeme $grad\, f(A)$ a vypočítame ho nasledovne:
$$\left(\frac{\partial f(A)}{\partial x}, \frac{\partial f(A)}{\partial y}, \frac{\partial f(A)}{\partial z}\right).$$
Keďže daná funkcia $f(x,y,z)$ je funkciou troch premenných aj gradient je vektor, ktorý ma tri zložky.

Najprv vypočítame derivácie prvého rádu podľa jednotlivých premenných. Dostávame nasledujúce funkcie
$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}&=&z^2+3z\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}&=&-z^2+z\\ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}&=&2(x-y)z+3x+y-35. \end{array}$$

Dosadíme súradnice bodu $A$ do predpisov jednotlivých funkcií a výpočítame súradnice gradientu funkcie $f$ v bode $A$.
$$\begin{array}{rclcl} \frac{\partial f(A)}{\partial x}&=&5^2+3\cdot 5&=&40\\ \frac{\partial f(A)}{\partial y}&=&-5^2+5&=&-20\\ \frac{\partial f(A)}{\partial z}&=&2(1-2)\cdot 5+3\cdot 1+2-35&=&-40. \end{array}$$

Gradient funkcie v bode $A$ je usporiadaná trojica čísel (vektor) $$grad\, f(A)=(40, -20, -40).$$

2. Normovananie vektora:
Vektor $\vec{l}$ nie je jednotkový, lebo jeho veľkosť nie je rovná číslu $1$: $$\left|\vec{l}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}\neq 1.$$

Vektor $\vec{l}$ znormujeme tak, že každú zložku vektora  $\vec{l}$  vydelíme jeho veľkosťou a dostávame

$$\vec{l}^o=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$$

Poznámka: Normovaný vektor už je jednotkový.

3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$:

$$\begin{array}{rcl} \frac{df(A)}{\vec{l}^o}&=&grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o\\ &=&(40, -20, -40)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\ &=&40\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+(-40)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &=& \frac{40}{\sqrt{3}}+\frac{20}{\sqrt{3}}-\frac{40}{\sqrt{3}}\\ &=&\frac{20}{\sqrt{3}}. \end{array}$$

Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$ je $\frac{20}{\sqrt{3}}$.