Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 1: Pomocou vhodnej úpravy rovnice $4y^{2}+x^{2}+z^{2}+12z+35=0$ určte druh plochy ňou určenej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do jednej zátvorky zlúčime všetky členy obsahujúce z: $4y^p{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$. (Podobne by sme postupovali aj s ostatnými premennými, ak by sa vyskytovali viac ako raz.)
Výraz $[z^{2}+12z]$ upravíme použitím vzťahu $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ na (úplný alebo neúplný) štvorec. Ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $z^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$. Po odmocnení $a=z$. Podobne výraz $12z$ by odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=z$ dáva rovnicu $12z=2zb$. Pre nenulové $z$ tak dostávame $6=b$. V takomto prípade $b^2=6^{2}=36$. Táto sa vo výraze $[z^{2}+12z]$ dá získať trikom, a to pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[z^{2}+12z]$, pričom samotné pripočítanie nuly k výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[z^{2}+12z]=[z^{2}+12z+0]$. Následne túto nulu zapíšeme v tvare rozdielu dvoch identických čísel, konkrétne je potrebné dané čísla postaviť rovné  $b^2=6^{2}=36$. Dostaneme výraz $[z^{2}+12z+0]=[z^{2}+12z+6^{2}-36]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(z^{2}+2.6z+6^{2})-36]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne nahradiť výrazom $(z+6)^{2}$ na základe podobnosti so vzťahom $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ pre $a=z$ a $b=6$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[z^{2}+12z]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[z^{2}+12z]=[(z^{2}+12z+6^{2})-36]=[(z+6)^{2}-36]$.

Následne možno rovnicu
$$4y^{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$$
previesť na tvar
$$4y^{2}+x^{2}+[(z+6)^{2}-36]+35=0$$
a následne upraviť.
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-36+35=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{(z+6)^{2}}{1}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
Táto rovnica pre $m=0$, $n=0$, $s=-6$, $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$ odpovedá rovnici elipsoidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c^{2}}=1.$$  
Naša plocha je teda elipsoid so stredom $[m,n,s]=[0,0,6]$ a dĺžkami polosí: $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$.