Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie $$f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.$$
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej $x$: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
$$f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x.$$ 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú $x$, čiže pri derivovaní podľa $x$ treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz $\arcsin{3xy}$. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x$$ 
Použitím I. dostaneme: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x$$
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej $x$ dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y$$

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej $y$:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y.$$ Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej $x$), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0$$ 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y}$$ 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y}$$ 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej $z$. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z$$ 
Vzhľadom na premennú $z$ len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
$$f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0$$ 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
$$f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z$$ 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1}$$ 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4}$$ 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej $z$ zapíšeme v tvare: 
$$f'_z=-9z^{-4}\cos{y}$$