Processing math: 0%

Friday, May 13, 2022

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej x: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x. 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú x, čiže pri derivovaní podľa x treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz \arcsin{3xy}. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x 
Použitím I. dostaneme: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej x dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1} 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0} 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej y:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y. Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej x), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y} 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y} 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y} 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y} 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej z. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z 
Vzhľadom na premennú z len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1} 
f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4} 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej z zapíšeme v tvare: 
f'_z=-9z^{-4}\cos{y}

1 comment:

  1. WinDraw fixed matches today. Best fixed matches 188bet 188bet 바카라사이트 바카라사이트 331Adesanya Whittaker Odds | Casino in Japan

    ReplyDelete