Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Lokálne extrémy funkcie

Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4.$$

Riešenie:
Nájdeme stacionárne body funkcie.

Vypočítame parciálne derivácie pravého rádu.
$$\begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& -4xy+8x^3\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 2y-2x^2 \end{array}$$

Položíme parciálne derivácie prvého rádu rovné nule a riešime sústavu rovníc
$$\begin{array}{rcl}  -4xy+8x^3&=&0\\  2y-2x^2&=&0. \end{array}$$

Z druhej rovnice vyjadríme jednu neznámu, napr. $y=x^2$ a dosadíme do prvej rovnice, čím dostávame

$$\begin{array}{rcl}  -4x^3+8x^3&=&0\\  4x^3&=&0\\  x^3&=&0\\  x&=&0. \end{array}$$

Existuje jediný stacionárny bod funkcie $f(x,y)$ so súradnicami $A=[0,0]$. Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či v tomto bode existuje extrém.

Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu
$$\begin{array}{ccl} \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& -4y+24x^2\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& -4x\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 2\\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& -4x \end{array}$$

do predpisov takto získaných funkcií dosadíme súradnice stacionárneho bodu a vypočítame determinant

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr} 0& 0\\ 0 & 2\\ \end{array} \right\vert = 0.$$

Keďže je determinant rovný nule, o existencii lokálneho extrému v bode $A$ nevieme na základe postačujúcej podmienky existencie extrému rozhodnúť.

Vyšetríme funkciu $f(x,y)$ v okolí stacionárneho bodu $A$ inými metódami, napríklad otestujeme funkčné hodnoty v okolí bodu $A$.

Funkčné hodnoty v okolí body $A$ vyšetríme pomocou upraveného predpisu funkcie
$$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4=(y-x^2)^2-x^4+2x^4=(y-x^2)^2+x^4.$$
Vidíme, že výraz $(y-x^2)^2+x^4$ je vždy kladný. Nulovú hodnotu nadobudne iba, ak $x=0$ a zároveň $y=0$.  Teda v bode $A$ je lokálne minimum funkcie $f(x,y)$.