Analytická geometria - Kužeľosečky

Analytická geometria

Kužeľosečky

Príklad 1

Rozhodnite, či nasledujúca rovnica je analytickým vyjadrením elipsy
$$9x^2+25y^2-54x-100y-44=0.$$

Riešenie

Danú rovnicu upravíme na stredový tvar kužeľosečky.

$$
\begin{array}{lcr}
9x^2+25y^2-54x-100y-44&=&0\\
9(x^2-6x)+25(y^2-4y)&=&44\\
9[(x-3)^2-9]+25[(y-2)^2-4]&=&44\\
9(x-3)^2-81+25(y-2)^2-100&=&44\\
9(x-3)^2+25(y-2)^2&=&225\\
\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}&=&1
\end{array}$$

Rovnica  $$\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$$ je stredová rovnica elipsy so stredom v bode $S=[3,2]$, dĺžkou hlavnej poloosi $a=5$, dĺžkou vedľajšej poloosi $b=3$ a excentricitou $e^2=a^2-b^2$, t.j. $e=4$.

Často sa k popisu elipsy uvádzajú aj súradnice významných bodov kužeľosečky. Pri elipse sú to

• súradnice ohnísk sú  $F_1=[3-4,2]$ a $F_2=[3+4,2]$, t.j. $F_1=[-1,2]$ a $F_2=[7,2]$,
• súradnice hlavných vrcholov elipsy sú $A=[3-5,2]$ a $B=[3+5,2]$ a , t.j. $A=[-2,2]$ a $B=[8,2]$,
• súradnice  vedľajších vrcholov elipsy sú $C=[3,2+3]$ a $D=[3,2-3]$, t.j. $C=[3,5]$ a $D=[3,-1]$.

Súčasťou riešenia je náčrt samotnej elipsy.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou $z=4-x^{2}-y^{2}$.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.$

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami $x=0$ a $y=0$:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
$R_{yz}:\ x=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $x$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorú možno prepísať do tvaru: $(y-0)^{2}+(z-4)=0$ a je rovnicou paraboly. Prienik roviny $x=0$ s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou $R_{xz}:\ y=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $y$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny $y=0$ s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou $R_{xy}$, konkrétne $z=4$, $z=3$, $z=0$ a $z=-5$. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre $z>4$, nakoľko pre takéto $z$ je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za $z$ môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako $4$. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla $4$ za $z$ do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0$, ktorá má riešenie len pre $[x,y]=[0,0]$ - bod. Teda prienik roviny $z=4$ s našim telesom je bod $[x,y,z]=[0,0,4]$.
Dosadením čísla $3$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0$, teda rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0$ a po úprave $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1$, ktorá je v rovine $z=3$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $1$.
Analogicky dosadením čísla $0$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4$, ktorá je v rovine $z=0$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $2$. 
Podobne dosadením čísla $-5$ za $z$ analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9$, ktorá je v rovine $z=-5$ rovnicou kružnice so stredom v bode
$[x,y]=[0,0]$ a polomerom $3$.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
$[x,y,z]=[0,0,4]$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta 

2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ 

3. $[e^{x}]'=e^{x}$ 

4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$ 

5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$ 

6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$ 

7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$ 

8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$ 

9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ 

10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ 

11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$ 

14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$ 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$ 

II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$ 

III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ 

IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$ 

V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 

Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Analytická geometria

Analytická geometria

Uloh dvoch priamok v 2D priestore

Príklad 2

Vypočítajte uhol priamok $p$ a $q$, ak
$p:\begin{cases} x=2+t\\ y=3-2t, t\in\mathbb{R} \end{cases}$ a $q:4x+2y+8=0$.

Riešenie:
Uhol dvoch priamok môžeme vypočítať pomocou  vzťahu:

$$\cos\alpha=\frac{|\vec{s}_p\cdot \vec{s}_q|}{|\vec{s}_p||\vec{s}_q|},$$

kde $\vec{s}_p$ je smerový vektor priamky $p$ a $\vec{s}_q$ je smerový vektor priamky $q$, v čitateli sa nachádza skalárny súčin týchto vektorov a v menovateli súčin ich veľkostí.

Smerový vektor priamky $p$, $\vec{s}_p$, vypočítame z jej parametrického vyjadrenia: $$X=A+\vec{s}_{p}t;\ t\in\mathbb{R}.$$

$p:\begin{cases}
x=2+t \\ y=3-2t, t\in\mathbb{R}\end{cases}$ a $\vec{s}_p=(1,-2)$.

Zo všeobecnej rovnice priamky $q$ vieme vypočítame normálový vektor priamky $q$, $\vec{n}_q=(4,2)$.
Smerový vektor priamky $q$, $\vec{s}_q$ je kolmý na $\vec{n}_q$ a keďže skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je rovný nula, možno ho nájsť vzájomnou zámenou súradníc vektora $\vec{n}_q$ a zmenou znamienka jednej zo súradníc na opačne: $\vec{s}_q=(-2,4)$.

Po dosadení súradníc smerových vektorov priamok do horeuvedeného vzorca dostávame
$$\cos\alpha=\frac{|(1,-2)\cdot(-2,4)|}{|(1,-2)|\cdot|(-2,4)|}=\frac{|1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4|}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|-10|}{\sqrt{5}\sqrt{20}}=1.$$
Keďže $\alpha=\arccos 1=0$, priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné a zvierajú uhol $0$ stupňov.

Analytická geometria v 3D

Analytická geometria v 3D 

Vzdialenosť dvoch priamok v 3D priestore

Príklad 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$. Ak sú priamky rôznobežné nájdite ich priesečník. Ak rovnobežné rôzne alebo mimobežné, vypočítajte ich vzdialenosť.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= 3-3t\\
z= t, t\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
q:\begin{cases}
x=4-2s\\
y= 6s\\
z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametrickými rovnicami. Z tohto vyjadrenia je možné priamo určiť súradnice bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= 3-3t\\
z= t, t\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ a bod $A=[2,3,0]$.

$$
q:\begin{cases}
x=4-2s\\
y= 6s\\
z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$ a bod $B=[4,0,3]$.

Vektor  $\vec{s_p}=(1,-3,1)$ je násobkom vektora $\vec{s_q}=(-2,6,-2)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne závislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rovnobežné totožné alebo rovnobežné rôzne.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné, tak každý bod priamky $p$ je zároveň aj bodom priamky $q$.
• Ak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne, tak nemajú žiaden spoločný bod.  V tomto  prípade má význam vypočítať vzialenosť priamok  $p$ a $q$ (viď. nižšie). 

Ukážeme, že priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne. Teda ukážeme,  že ľubovoľný bod patriaci priamke $p$ nepatrí priamke $q$.

Nech $A$ so súradnicami $A=[2,3,0]$ je bod patriaci priamke $p$. Ukážeme, že tento bod nepatrí priamke $q$, t.j. $A\notin q$.
Teda
$$\begin{array}{rcl}
2=4-2s\\
3= 6s\\
0= 3-2s
\end{array}
$$
Z druhej rovnice vidieť, že $s=2$. Ale z tretej rovnice je $s=\frac{3}{2}$. Teda bod $A$ nepatrí priamke $q$. Keďže sme našli jeden bod, ktorý patrí priamke $p$ a zároveň nepatrí priamke $q$, znamená to, že priamky $p$ a $q $ sú rovnobežné rôzne.

Ďalšou možnosťou ako overiť vzájomnú polohu dvoch piamok, je riešiť nasledujúcu sústavu rovníc.
$$\begin{array}{rcl}
2+t&=&4-2s\\
3-3t&=&6s\\
t&=&3-2s
\end{array}$$

• Ak sústava má nekonečne vela riešení, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné totožné.
• Ak sústava nemá riešenie, tak sú priamky $p$ a $q$ rovnobežné rôzne (čo je náš prípad).

Určiť vzdialenosť dvoch priamok znamená, určiť najmenšiu možnú vzdialenosť.
Postup:

1. Skonštuujeme rovinu $\alpha$, ktorá je kolmá na obe priamky.
2. Určíme priesečniky roviny s danými priamkami. Výsledkom sú dva body. Jeden patriaci priamke $p$ a druhý patriaci priamke $q$. 
3. Určíme vzdialenosť týchto dvoch bodov.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá na tieto dve priamky, potom normalový vektor roviny je zároveň smerovým vektorom priamky. Keďže priamky $p$ a $q$ sú rovnobežné (sú ich smerové vektory lineárne závisle) je jedno, ktorý z tých vektorov použijeme. 

Nech $$\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}=(1,-3,1).$$ A nech tejto rovine patrí bod $A$.

$$\begin{array}{lrcl}
\alpha:&x-3y+z+d&=&0\\
A\in\alpha:&x-3y+z+d&=&0\\
&2-3\cdot 3+0+d&=&0\\
&-7+d&=&0\\
&d&=&7
\end{array}$$

Rovina $\alpha$ má rovnicu $x-3y+z-7=0$.

Keďže rovina $\alpha$ je kolmá aj na priamku $q$, majú spoločný prienik. Označme tento bod $M$. Jeho súradnice dostaneme ako riešenie nasledujúcej sústavy:
$$\begin{array}{rcl}
x&=&4-2s\\
y&=& 6s\\
z&=& 3-2s\\
x-3y+z+7&=&0
\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}
(4-2s)-3\cdot 6s+(3-2s)+7&=&0\\
4-2s-18s+3-2s+7&=&0\\
-22s&=&-14\\
22s&=&14\\
s&=&\frac{7}{11}
\end{array}$$

Keďže bod $M$ patrí aj priamke $q$, tak jeho súradnice dopočítame:
$$\begin{array}{rcl}
4-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{30}{11}\\
6\cdot \frac{7}{11}&=&\frac{42}{11}\\
3-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{19}{11}
\end{array}$$

Súradnice bodu $M$ sú $$M=\left[\frac{30}{11},\frac{42}{11},\frac{19}{11}\right].$$

Stačí už iba určiť vzdialenosť bodov $AM$.

$$\begin{array}{rcl}
\left|AM\right|&=&\sqrt{\left(\frac{30}{11}-2\right)^2+\left(\frac{42}{11}-3\right)^2+\left(\frac{19}{11}-0\right)^2}\\
&=&\sqrt{\left(-\frac{8}{11}\right)^2+\left(-\frac{9}{11}\right)^2+\left(\frac{19}{11}\right)^2}\\
&=&\sqrt{\frac{64+81+361}{121}}\\
&=&\sqrt{\frac{506}{121}}
\end{array}$$

Vzdialenosť priamok $p$ a $q$ je $\sqrt{\frac{506}{121}}$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie $$f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.$$
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej $x$: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
$$f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x.$$ 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú $x$, čiže pri derivovaní podľa $x$ treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz $\arcsin{3xy}$. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x$$ 
Použitím I. dostaneme: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x$$
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej $x$ dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y$$

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej $y$:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y.$$ Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej $x$), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0$$ 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y}$$ 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y}$$ 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej $z$. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z$$ 
Vzhľadom na premennú $z$ len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
$$f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0$$ 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
$$f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z$$ 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1}$$ 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4}$$ 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej $z$ zapíšeme v tvare: 
$$f'_z=-9z^{-4}\cos{y}$$

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami sa presvedčte o tom, že plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$ je hyperboloidom.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru  $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ (viď predchádzajúci príklad). Roviny, ktorými budeme viesť rezy uvažovanej plochy zvolíme tak, aby boli rovnobežné so súradnicovými rovinami $R_{xy}$, $R_{yz}$ a $R_{xz}$ a tak, aby naše výpočty boli čo možno najjednoduchšie. Preto urobíme rezy plochy rovinami $x=4$, $y=(-1)$, $z=2$ (po dosadení $4$ za $x$, respektíve $(-1)$ za $y$ či $2$ za $z$ do rovnice $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ eliminujeme vždy jeden zo sčítancov a s ním aj jednu z premenných).
Rez plochy rovinou $x=4$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(4-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{yz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ so  stredom $S_{yz}=[n,s]=[-1,2]$ a s dĺžkami polosí $b=1$, $c=3$.
Rez plochy rovinou $y=(-1)$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(-1+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu elipsy $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ so stredom $S_{xz}=[m,s]=[4,2]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $c=3$.
´Napokon rez plochy rovinou $z=2$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}$$ so stredom $S_{xy}=[m,n]=[4,-1]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$.

Nakoľko rez plochy rovinami $x=4$ a $z=2$ predstavuje hyperbolu, kým rez plochy rovinou $y=(-1)$ je elipsa, plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$, respektíve rovnicou $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ je jednodielny hyperboloid (so stredom $S=[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$ a $c=3$).