Processing math: 0%

Monday, May 30, 2022

Analytická geometria - Kužeľosečky

Analytická geometria

Kužeľosečky

Príklad 1

Rozhodnite, či nasledujúca rovnica je analytickým vyjadrením elipsy
9x^2+25y^2-54x-100y-44=0.

Riešenie

Danú rovnicu upravíme na stredový tvar kužeľosečky.

\begin{array}{lcr} 9x^2+25y^2-54x-100y-44&=&0\\ 9(x^2-6x)+25(y^2-4y)&=&44\\ 9[(x-3)^2-9]+25[(y-2)^2-4]&=&44\\ 9(x-3)^2-81+25(y-2)^2-100&=&44\\ 9(x-3)^2+25(y-2)^2&=&225\\ \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}&=&1 \end{array}

Rovnica  \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1 je stredová rovnica elipsy so stredom v bode S=[3,2], dĺžkou hlavnej poloosi a=5, dĺžkou vedľajšej poloosi b=3 a excentricitou e^2=a^2-b^2, t.j. e=4.

Často sa k popisu elipsy uvádzajú aj súradnice významných bodov kužeľosečky. Pri elipse sú to
  • súradnice ohnísk sú  F_1=[3-4,2] a F_2=[3+4,2], t.j. F_1=[-1,2] a F_2=[7,2],
  • súradnice hlavných vrcholov elipsy sú A=[3-5,2] a B=[3+5,2] a , t.j. A=[-2,2] a B=[8,2],
  • súradnice  vedľajších vrcholov elipsy sú C=[3,2+3] a D=[3,2-3], t.j. C=[3,5] a D=[3,-1].
Súčasťou riešenia je náčrt samotnej elipsy.






Monday, May 23, 2022

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch


Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou z=4-x^{2}-y^{2}.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami x=0 a y=0:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
R_{yz}:\ x=0 získame tak, že do rovnice (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0 za x dosadíme 0. Dostaneme rovnicu (0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0, ktorú možno prepísať do tvaru: (y-0)^{2}+(z-4)=0 a je rovnicou paraboly. Prienik roviny x=0 s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou R_{xz}:\ y=0 získame tak, že do rovnice (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0 za y dosadíme 0. Dostaneme rovnicu (x-0)^{2}+(z-4)=0, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny y=0 s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou R_{xy}, konkrétne z=4, z=3, z=0 a z=-5. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre z>4, nakoľko pre takéto z je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za z môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako 4. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla 4 za z do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0, ktorá má riešenie len pre [x,y]=[0,0] - bod. Teda prienik roviny z=4 s našim telesom je bod [x,y,z]=[0,0,4].
Dosadením čísla 3 za z do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0, teda rovnicu (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0 a po úprave (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1, ktorá je v rovine z=3 rovnicou kružnice so stredom v bode [x,y]=[0,0] a polomerom 1.
Analogicky dosadením čísla 0 za z do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4, ktorá je v rovine z=0 rovnicou kružnice so stredom v bode [x,y]=[0,0] a polomerom 2
Podobne dosadením čísla -5 za z analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9, ktorá je v rovine z=-5 rovnicou kružnice so stredom v bode
[x,y]=[0,0] a polomerom 3.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
[x,y,z]=[0,0,4].

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. [c]'=0, kde c je konštanta 

2. [x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1} 

3. [e^{x}]'=e^{x} 

4. [a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a} 

5. [\ln{x}]'=\frac{1}{x} 

6. [\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}} 

7. [\sin{x}]'=\cos{x} 

8. [\cos{x}]'=-\sin{x} 

9. [tg {x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}} 

10. [cotg {x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}} 

11. [\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 

12. [\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 

13. [arctg {x}]'=\frac{1}{1+x^{2}} 

14. [arccotg {x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}} 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. [c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x) 

II. [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x) 

III. [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) 

IV. [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)} 

V. [f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x) 

Pod označením c v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a f(x), g(x) predstavujú funkcie premennej x. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad f=f(x,y,z) podľa niektorej z premenných (napríklad y) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu x a z), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú x nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu y) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Tuesday, May 17, 2022

Analytická geometria

Analytická geometria

Uloh dvoch priamok v 2D priestore

Príklad 2

Vypočítajte uhol priamok p a q, ak
p:\begin{cases} x=2+t\\ y=3-2t, t\in\mathbb{R} \end{cases} a q:4x+2y+8=0.

Riešenie:
Uhol dvoch priamok môžeme vypočítať pomocou  vzťahu:

\cos\alpha=\frac{|\vec{s}_p\cdot \vec{s}_q|}{|\vec{s}_p||\vec{s}_q|},

kde \vec{s}_p je smerový vektor priamky p a \vec{s}_q je smerový vektor priamky q, v čitateli sa nachádza skalárny súčin týchto vektorov a v menovateli súčin ich veľkostí.

Smerový vektor priamky p, \vec{s}_p, vypočítame z jej parametrického vyjadrenia: X=A+\vec{s}_{p}t;\ t\in\mathbb{R}.

$p:\begin{cases}
x=2+t \\ y=3-2t, t\in\mathbb{R}\end{cases} a \vec{s}_p=(1,-2)$.

Zo všeobecnej rovnice priamky q vieme vypočítame normálový vektor priamky q, \vec{n}_q=(4,2).
Smerový vektor priamky q, \vec{s}_q je kolmý na \vec{n}_q a keďže skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je rovný nula, možno ho nájsť vzájomnou zámenou súradníc vektora \vec{n}_q a zmenou znamienka jednej zo súradníc na opačne: \vec{s}_q=(-2,4).

Po dosadení súradníc smerových vektorov priamok do horeuvedeného vzorca dostávame
\cos\alpha=\frac{|(1,-2)\cdot(-2,4)|}{|(1,-2)|\cdot|(-2,4)|}=\frac{|1\cdot(-2)+(-2)\cdot 4|}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{(-2)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|-10|}{\sqrt{5}\sqrt{20}}=1.
Keďže \alpha=\arccos 1=0, priamky p a q sú rovnobežné a zvierajú uhol 0 stupňov.

Monday, May 16, 2022

Analytická geometria v 3D

Analytická geometria v 3D 

Vzdialenosť dvoch priamok v 3D priestore

Príklad 

Určte vzájomnú polohu priamok p a q. Ak sú priamky rôznobežné nájdite ich priesečník. Ak rovnobežné rôzne alebo mimobežné, vypočítajte ich vzdialenosť.
p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}

Riešenie

Priamky p a q sú dané parametrickými rovnicami. Z tohto vyjadrenia je možné priamo určiť súradnice bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= 3-3t\\ z= t, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases}
Smerový vektor priamky p má súradnice \vec{s_p}=(1,-3,1) a bod A=[2,3,0].

q:\begin{cases} x=4-2s\\ y= 6s\\ z= 3-2s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}
Smerový vektor priamky q  má súradnice \vec{s_q}=(-2,6,-2) a bod B=[4,0,3].

Vektor  \vec{s_p}=(1,-3,1) je násobkom vektora \vec{s_q}=(-2,6,-2).

Keďže vektory  \vec{s_p}\vec{s_q} sú lineárne závislé, priamky p a q môžu byť rovnobežné totožné alebo rovnobežné rôzne.
  • Ak sú priamky p a q rovnobežné totožné, tak každý bod priamky p je zároveň aj bodom priamky q.
  • Ak sú priamky p a q rovnobežné rôzne, tak nemajú žiaden spoločný bod.  V tomto  prípade má význam vypočítať vzialenosť priamok  p a q (viď. nižšie). 
Ukážeme, že priamky p a q rovnobežné rôzne. Teda ukážeme,  že ľubovoľný bod patriaci priamke p nepatrí priamke q.

Nech A so súradnicami A=[2,3,0] je bod patriaci priamke p. Ukážeme, že tento bod nepatrí priamke q, t.j. A\notin q.
Teda
\begin{array}{rcl} 2=4-2s\\ 3= 6s\\ 0= 3-2s \end{array}
Z druhej rovnice vidieť, že s=2. Ale z tretej rovnice je s=\frac{3}{2}. Teda bod A nepatrí priamke q. Keďže sme našli jeden bod, ktorý patrí priamke p a zároveň nepatrí priamke q, znamená to, že priamky p a q sú rovnobežné rôzne.

Ďalšou možnosťou ako overiť vzájomnú polohu dvoch piamok, je riešiť nasledujúcu sústavu rovníc.
\begin{array}{rcl} 2+t&=&4-2s\\ 3-3t&=&6s\\ t&=&3-2s \end{array}
  • Ak sústava má nekonečne vela riešení, tak sú priamky p a q rovnobežné totožné.
  • Ak sústava nemá riešenie, tak sú priamky p a q rovnobežné rôzne (čo je náš prípad).
Určiť vzdialenosť dvoch priamok znamená, určiť najmenšiu možnú vzdialenosť.
Postup:

  1. Skonštuujeme rovinu \alpha, ktorá je kolmá na obe priamky.
  2. Určíme priesečniky roviny s danými priamkami. Výsledkom sú dva body. Jeden patriaci priamke p a druhý patriaci priamke q
  3. Určíme vzdialenosť týchto dvoch bodov.
Keďže rovina \alpha je kolmá na tieto dve priamky, potom normalový vektor roviny je zároveň smerovým vektorom priamky. Keďže priamky p a q sú rovnobežné (sú ich smerové vektory lineárne závisle) je jedno, ktorý z tých vektorov použijeme. 

Nech \vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}=(1,-3,1). A nech tejto rovine patrí bod A.

\begin{array}{lrcl} \alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ A\in\alpha:&x-3y+z+d&=&0\\ &2-3\cdot 3+0+d&=&0\\ &-7+d&=&0\\ &d&=&7 \end{array}

Rovina \alpha má rovnicu x-3y+z-7=0.

Keďže rovina \alpha je kolmá aj na priamku q, majú spoločný prienik. Označme tento bod M. Jeho súradnice dostaneme ako riešenie nasledujúcej sústavy:
\begin{array}{rcl} x&=&4-2s\\ y&=& 6s\\ z&=& 3-2s\\ x-3y+z+7&=&0 \end{array}

\begin{array}{rcl} (4-2s)-3\cdot 6s+(3-2s)+7&=&0\\ 4-2s-18s+3-2s+7&=&0\\ -22s&=&-14\\ 22s&=&14\\ s&=&\frac{7}{11} \end{array}

Keďže bod M patrí aj priamke q, tak jeho súradnice dopočítame:
\begin{array}{rcl} 4-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{30}{11}\\ 6\cdot \frac{7}{11}&=&\frac{42}{11}\\ 3-2\cdot\frac{7}{11}&=&\frac{19}{11} \end{array}

Súradnice bodu MM=\left[\frac{30}{11},\frac{42}{11},\frac{19}{11}\right].

Stačí už iba určiť vzdialenosť bodov AM.

\begin{array}{rcl} \left|AM\right|&=&\sqrt{\left(\frac{30}{11}-2\right)^2+\left(\frac{42}{11}-3\right)^2+\left(\frac{19}{11}-0\right)^2}\\ &=&\sqrt{\left(-\frac{8}{11}\right)^2+\left(-\frac{9}{11}\right)^2+\left(\frac{19}{11}\right)^2}\\ &=&\sqrt{\frac{64+81+361}{121}}\\ &=&\sqrt{\frac{506}{121}} \end{array}

Vzdialenosť priamok p a q je \sqrt{\frac{506}{121}}.




Friday, May 13, 2022

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej x: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x. 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú x, čiže pri derivovaní podľa x treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz \arcsin{3xy}. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x 
Použitím I. dostaneme: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej x dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1} 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0} 
f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej y:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y. Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej x), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y} 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y} 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y} 
f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y} 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej z. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z 
Vzhľadom na premennú z len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1} 
f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4} 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej z zapíšeme v tvare: 
f'_z=-9z^{-4}\cos{y}

Thursday, May 12, 2022

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...


Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami sa presvedčte o tom, že plocha popísaná rovnicou x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0 je hyperboloidom.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru  \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1 (viď predchádzajúci príklad). Roviny, ktorými budeme viesť rezy uvažovanej plochy zvolíme tak, aby boli rovnobežné so súradnicovými rovinami R_{xy}, R_{yz} a R_{xz} a tak, aby naše výpočty boli čo možno najjednoduchšie. Preto urobíme rezy plochy rovinami x=4, y=(-1), z=2 (po dosadení 4 za x, respektíve (-1) za y či 2 za z do rovnice \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1 eliminujeme vždy jeden zo sčítancov a s ním aj jednu z premenných).
Rez plochy rovinou x=4 predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou \frac{(4-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1. Teda v rovine R_{yz} sa jedná o rovnicu hyperboly -\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1 so  stredom S_{yz}=[n,s]=[-1,2] a s dĺžkami polosí b=1, c=3.
Rez plochy rovinou y=(-1) predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(-1+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1. Teda v rovine R_{xz} sa jedná o rovnicu elipsy \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1 so stredom S_{xz}=[m,s]=[4,2] a dĺžkami polosí a=9, c=3.
´Napokon rez plochy rovinou z=2 predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{3^{2}}=1. Teda v rovine R_{xz} sa jedná o rovnicu hyperboly \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}} so stredom S_{xy}=[m,n]=[4,-1] a dĺžkami polosí a=9, b=1.

Nakoľko rez plochy rovinami x=4 a z=2 predstavuje hyperbolu, kým rez plochy rovinou y=(-1) je elipsa, plocha popísaná rovnicou x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0, respektíve rovnicou \frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1 je jednodielny hyperboloid (so stredom S=[m,n,s]=[4,-1,2] a s dĺžkami polosí a=9, b=1 a c=3).