Analytická geometria v 3D
Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch
Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou
z=4-x^{2}-y^{2}.
Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.
Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami
x=0 a
y=0:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
R_{yz}:\ x=0 získame tak, že do rovnice
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0 za
x dosadíme
0. Dostaneme rovnicu
(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0, ktorú možno prepísať do tvaru:
(y-0)^{2}+(z-4)=0 a je rovnicou paraboly. Prienik roviny
x=0 s uvažovanou plochou je teda parabola.
Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
R_{xz}:\ y=0 získame tak, že do rovnice
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0 za
y dosadíme
0. Dostaneme rovnicu
(x-0)^{2}+(z-4)=0, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny
y=0 s uvažovanou plochou je parabola.
Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou
R_{xy}, konkrétne
z=4,
z=3,
z=0 a
z=-5. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre
z>4, nakoľko pre takéto
z je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za
z môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako
4. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla
4 za
z do analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0, ktorá má riešenie len pre
[x,y]=[0,0] - bod. Teda prienik roviny
z=4 s našim telesom je bod
[x,y,z]=[0,0,4].
Dosadením čísla
3 za
z do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0, teda rovnicu
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0 a po úprave
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1, ktorá je v rovine
z=3 rovnicou kružnice so stredom v bode
[x,y]=[0,0] a polomerom
1.
Analogicky dosadením čísla
0 za
z do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4, ktorá je v rovine
z=0 rovnicou kružnice so stredom v bode
[x,y]=[0,0] a polomerom
2.
Podobne dosadením čísla
-5 za
z analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9, ktorá je v rovine
z=-5 rovnicou kružnice so stredom v bode
[x,y]=[0,0] a polomerom
3.
Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
[x,y,z]=[0,0,4].