Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 1: Pomocou vhodnej úpravy rovnice $4y^{2}+x^{2}+z^{2}+12z+35=0$ určte druh plochy ňou určenej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do jednej zátvorky zlúčime všetky členy obsahujúce z: $4y^p{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$. (Podobne by sme postupovali aj s ostatnými premennými, ak by sa vyskytovali viac ako raz.)
Výraz $[z^{2}+12z]$ upravíme použitím vzťahu $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ na (úplný alebo neúplný) štvorec. Ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $z^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$. Po odmocnení $a=z$. Podobne výraz $12z$ by odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=z$ dáva rovnicu $12z=2zb$. Pre nenulové $z$ tak dostávame $6=b$. V takomto prípade $b^2=6^{2}=36$. Táto sa vo výraze $[z^{2}+12z]$ dá získať trikom, a to pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[z^{2}+12z]$, pričom samotné pripočítanie nuly k výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[z^{2}+12z]=[z^{2}+12z+0]$. Následne túto nulu zapíšeme v tvare rozdielu dvoch identických čísel, konkrétne je potrebné dané čísla postaviť rovné  $b^2=6^{2}=36$. Dostaneme výraz $[z^{2}+12z+0]=[z^{2}+12z+6^{2}-36]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(z^{2}+2.6z+6^{2})-36]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne nahradiť výrazom $(z+6)^{2}$ na základe podobnosti so vzťahom $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ pre $a=z$ a $b=6$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[z^{2}+12z]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[z^{2}+12z]=[(z^{2}+12z+6^{2})-36]=[(z+6)^{2}-36]$.

Následne možno rovnicu
$$4y^{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$$
previesť na tvar
$$4y^{2}+x^{2}+[(z+6)^{2}-36]+35=0$$
a následne upraviť.
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-36+35=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{(z+6)^{2}}{1}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
Táto rovnica pre $m=0$, $n=0$, $s=-6$, $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$ odpovedá rovnici elipsoidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c^{2}}=1.$$ 
Naša plocha je teda elipsoid so stredom $[m,n,s]=[0,0,6]$ a dĺžkami polosí: $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$. 

Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Lokálne extrémy funkcie

Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4.$$

Riešenie:
Nájdeme stacionárne body funkcie.

Vypočítame parciálne derivácie pravého rádu.
$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& -4xy+8x^3\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 2y-2x^2
\end{array}$$

Položíme parciálne derivácie prvého rádu rovné nule a riešime sústavu rovníc
$$\begin{array}{rcl}
 -4xy+8x^3&=&0\\
 2y-2x^2&=&0.
\end{array}$$

Z druhej rovnice vyjadríme jednu neznámu, napr. $y=x^2$ a dosadíme do prvej rovnice, čím dostávame

$$\begin{array}{rcl}
 -4x^3+8x^3&=&0\\
 4x^3&=&0\\
 x^3&=&0\\
 x&=&0.
\end{array}$$

Existuje jediný stacionárny bod funkcie $f(x,y)$ so súradnicami $A=[0,0]$. Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či v tomto bode existuje extrém.

Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu
$$\begin{array}{ccl}
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& -4y+24x^2\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& -4x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 2\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& -4x
\end{array}$$

do predpisov takto získaných funkcií dosadíme súradnice stacionárneho bodu a vypočítame determinant

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr}
0& 0\\
0 & 2\\
\end{array} \right\vert = 0. $$

Keďže je determinant rovný nule, o existencii lokálneho extrému v bode $A$ nevieme na základe postačujúcej podmienky existencie extrému rozhodnúť.

Vyšetríme funkciu $f(x,y)$ v okolí stacionárneho bodu $A$ inými metódami, napríklad otestujeme funkčné hodnoty v okolí bodu $A$.

Funkčné hodnoty v okolí body $A$ vyšetríme pomocou upraveného predpisu funkcie
$$ f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4=(y-x^2)^2-x^4+2x^4=(y-x^2)^2+x^4.$$
Vidíme, že výraz $(y-x^2)^2+x^4$ je vždy kladný. Nulovú hodnotu nadobudne iba, ak $x=0$ a zároveň $y=0$.  Teda v bode $A$ je lokálne minimum funkcie $f(x,y)$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.$$ 

Riešenie:  Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po priamkách:

$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=$  

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
 

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=0$ má hodnotu $1$, kým pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$), odvodíme, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Derivácia v smere

Príklad 1: Vypočítajte deriváciu funkcie $ f(x,y,z)=(x-y)z^2+(3x+y-35)z-1$ v bode $A=[1,2,5]$ v smere vektora $ \vec{l}=\left(1,-1,1\right).$

Riešenie:
Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora vypočítame podľa vzťahu:
$$\frac{df(A)}{\vec{l}^o}=grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o$$

Celý výpočet derivácie funkcie v bode A v smere vektora je možné rozdeliť do nasledujúcich krokov.

1. Výpočet gradientu funkcie v bode A.
2. Normovananie vektora.
3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode A v smere vektora l.  

1. Výpočet gradientu funkcie:
Gradient funkcie označujeme $grad\, f(A)$ a vypočítame ho nasledovne:
$$\left(\frac{\partial f(A)}{\partial x}, \frac{\partial f(A)}{\partial y}, \frac{\partial f(A)}{\partial z}\right).$$
Keďže daná funkcia $f(x,y,z)$ je funkciou troch premenných aj gradient je vektor, ktorý ma tri zložky.

Najprv vypočítame derivácie prvého rádu podľa jednotlivých premenných. Dostávame nasledujúce funkcie
$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}&=&z^2+3z\\
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}&=&-z^2+z\\
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}&=&2(x-y)z+3x+y-35.
\end{array}$$

Dosadíme súradnice bodu $A$ do predpisov jednotlivých funkcií a výpočítame súradnice gradientu funkcie $f$ v bode $A$.
$$\begin{array}{rclcl}
\frac{\partial f(A)}{\partial x}&=&5^2+3\cdot 5&=&40\\
\frac{\partial f(A)}{\partial y}&=&-5^2+5&=&-20\\
\frac{\partial f(A)}{\partial z}&=&2(1-2)\cdot 5+3\cdot 1+2-35&=&-40.
\end{array}$$

Gradient funkcie v bode $A$ je usporiadaná trojica čísel (vektor) $$grad\, f(A)=(40, -20, -40).$$

2. Normovananie vektora:
Vektor $\vec{l}$ nie je jednotkový, lebo jeho veľkosť nie je rovná číslu $1$: $$\left|\vec{l}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}\neq 1.$$

Vektor $\vec{l}$ znormujeme tak, že každú zložku vektora  $\vec{l}$  vydelíme jeho veľkosťou a dostávame

$$\vec{l}^o=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$$

Poznámka: Normovaný vektor už je jednotkový.

3. Výpočet sakalárneho súčinu dvoch vektorov, čo je už samotná derivácie funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$:

$$
\begin{array}{rcl}
\frac{df(A)}{\vec{l}^o}&=&grad\,  f(A)\cdot \vec{l}^o\\
&=&(40, -20, -40)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
&=&40\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+(-40)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\\
&=& \frac{40}{\sqrt{3}}+\frac{20}{\sqrt{3}}-\frac{40}{\sqrt{3}}\\
&=&\frac{20}{\sqrt{3}}.
\end{array}$$

Deriváciu funkcie v bode $A$ v smere vektora $\vec{l}$ je $\frac{20}{\sqrt{3}}$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

 Lineárne útvary v 3D

Príklad 1: Nájdite všeobecné rovnice priamky $p$, ktorej parametrické rovnice sú:
$$
p:\begin{cases}
x= 2-t\\
y= 1+4t\\
z= -3+2t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$

Riešenie: Všeobecná rovnica priamky v priestore (v 3D) neexistuje. Pozor v 2D existujú obe vyjadrenia priamky. 

Priamku je možné v priestore vyjadriť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Práve o takéto vyjadrenie ide, ak je potrebné hľadať všeobecné rovnice priamky v 3D.

Dá sa povedať, že jednu priamku môžeme vyjadriť ako priesečnicu rôznych dvoch rovín. Princíp takého vyjadrenia spočíva v eliminácií parametra $t$.

Ak $t$ ($t=2-x$) vyjadríme z prvej rovnice, tak
$$\begin{array}{ccc}
y&=&1+4(2-x)\\
z&=&-3+2(2-x)
\end{array}$$
Teda:
$$\begin{array}{ccc}
4x+y-9&=&0\\
2x+z-1&=&0
\end{array}
$$

Záver: Priamka $p$ je priečnicou roviny $\alpha: 4x+y-9=0$ a $\beta: 2x+z-1=0$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 2: Pomocou vhodnej úpravy rovnice
$$x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$$ určte druh plochy ňou popísanej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do zátvoriek zlúčime sčítance obsahujúce rovnakú premennú (t.j. do jednej zátvorky dáme všetky výrazy s $x$, do druhej všetky výrazy s $y$ a do tretej všetky výrazy obsahujúce premennú $z$):
$[x^{2}-8x]+[-81y^{2}-162y]+[9z^{2}-36z]-110=0$. Ak sa v príslušných zátvorkách pri kvadratických členoch súčtu (druhých mocninách premennej) nachádzajú koeficienty rôzne od $1$, tieto vyberieme pred tú-ktorú zátvorku. V našom prípade týmto dostaneme rovnicu: $[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$. (Pozor na znamienka pri vyberaní záporného čísla pred zátvorku!) Každý z výrazov v zátvorke následne upravíme na (úplný alebo neúplný) štvorec, pričom využijeme vzťahy $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ a $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$.

Uvažujme výraz $[x^{2}-8x]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko mínus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $x^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=x$. Analogicky výraz $-8x$ by odpovedal výrazu $-2ab$, teda $8x=2ab$, čo pre $a=x$ (viď vyššie) dáva rovnicu $8x=2xb$, čo pre nenulové $x$ môžeme výrazom $2x$ podeliť a dostaneme  $b=4$. V takomto prípade by potom výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $4^{2}$, teda $16$. Táto sa vo výraze
$[x^{2}-8x]$ dá získať trikom, konkrétne pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[x^{2}-8x]$. Samotné pripočítanie nuly k ľubovoľnému výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+0]$. Túto nulu môžeme zapísať v tvare rozdielu dvoch identických čísel. Pre náš účel úpravy na štvorec je potrebné dané čísla postaviť rovné hodnote $b=4^{2}=16$. Dostaneme výraz $[x^{2}-8x+0]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(x^{2}-2.4x+4^{2})-16]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne upraviť použitím pravej strany vzťahu $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ na tvar $(x-4)^{2}$, nakoľko, ako sme uviedli vyššie, tu $a=x$ a $b=4$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[x^{2}-8x]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]=[(x-4)^{2}-16]$.

Analogicky budeme postupovať v prípade výrazu $[y^{2}+2y]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko plus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $y^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=y$. Výraz $2y$ by tu  odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=y$ dáva $b=1$. V takomto prípade by výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $16^{2}$, teda $1$. Opäť ju vo výraze $[y^{2}+2y]$ dostaneme trikom pripočítavania nuly vo vhodnom tvare:
$[y^{2}+2y]=[y^{2}+2y+0]=[y^{2}+2y+1^{2}-1]$. Následne prvé tri členy súčtu zlúčime do jednej zátvorky, pričom vieme, že sú ekvivalentné s ľavou stranou vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ môžeme postupne písať:
$[y^{2}+2y+1^{2}-1]=[(y^{2}+2y+1^{2})-1]=[(y+1)^{2}-1]$. Tým sme výraz $[y^{2}+2y]$ upravili na (neúplný) štvorec.

Napokon pomocou vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ upravíme výraz $[z^{2}-4z]$. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch tu na základe porovnania prvých členov výrazu dostaneme $a=z$. Z rovnosti výrazov $-2ab=-4z$ pre $a=z$ dostaneme $2zb=4z$, čo pre nenulové $z$ dáva $b=2$. Teda $b^{2}=2^{2}=4$. Opäť na základe pripočítavania nuly vo vhodnom tvare k výrazu $[z^{2}-4z]$ môžeme písať: $[z^{2}-4z]=[z^{2}-4z+0]=[z^{2}-4z+2^{2}-4]=[(z^{2}-4z+2^{2})-4]$. Výraz v oblej zátvorke na základe ekvivalentnosti ($z=a$, $2=b$) a podľa vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ nahradíme výrazom $z-2$, čím dostaneme hľadanú úpravu výrazu $[z^{2}-4z]$ na tvar $[(z-2)^{2}-4]$.

Teraz už môžeme rovnicu
$$[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$$ prepísať do tvaru
$$[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0.$$
Následne roznásobíme výrazy v zátvorkách pred nimi stojacimi koeficientami (viď nižšie) a vypočítame hodnotu absolútneho člena. 
$$1.[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0$$
$$(x-4)^{2}-16+(-81).(y+1)^{2}+81+9(z-2)^{2}-36-110=0$$
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}-81=0$$
Ďalšími úpravami dostaneme:
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}=81$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{81.(y+1)^{2}}{81}+\frac{9(z-2)^{2}}{81}=\frac{81}{81}$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{(y+1)^{2}}{1}+\frac{(z-2)^{2}}{9}=1$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{36^{2}}=1$$
Táto rovnica odpovedá rovnici jednodielneho hyperboloidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c6^{2}}=1$$
pre $m=4$, $n=-1$, $s=2$, $a=9$, $b=1$ a $c=3$.
Naša plocha je teda jednodielny hyperboloid so stredom $[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $9$, $1$ a $3$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 2

Dané sú dve rôznobežné roviny $\alpha: x-y+z-5=0$ a $\beta: x+2y-7=0$. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky $p$, ktorá je priesečnicou daných rovín.

Riešenie:

Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny $\alpha$ je $\vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1)$ a roviny $\beta$ je $\vec{n_{\beta}}=(1,2,0)$. Keďže priamka $p$ je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom $\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}$.

$$
\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&-1&1\\
1&2&0
\end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $(-2,1,3)$.
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.

Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
$$\begin{array}{ccc}
x-y+z-5&=&0\\
x+2y-7&=&0
\end{array}$$
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke $p$. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.

Označme tento bod písmenom $K$.

Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná $y$. Zvoľme za $y=0$, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi 
$$\begin{array}{ccc}
x+z-5&=&0\\
x-7&=&0
\end{array},$$
ktorá má riešenie $x=7$ a $z=-2$.
Súradnice hľadaného bodu $K=[7,0,-2]$.

Parametrické vyjadrenie priamky $p$ v 3D je
$$
p:\begin{cases}
x= 7-2t\\
y= 0+t\\
z= -2+3t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$