Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta 

2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ 

3. $[e^{x}]'=e^{x}$ 

4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$ 

5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$ 

6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$ 

7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$ 

8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$ 

9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ 

10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ 

11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$ 

14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$ 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$ 

II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$ 

III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ 

IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$ 

V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 

Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie $$f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.$$
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej $x$: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
$$f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x.$$ 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú $x$, čiže pri derivovaní podľa $x$ treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz $\arcsin{3xy}$. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x$$ 
Použitím I. dostaneme: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x$$
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej $x$ dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y$$

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej $y$:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y.$$ Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej $x$), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0$$ 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y}$$ 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y}$$ 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej $z$. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z$$ 
Vzhľadom na premennú $z$ len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
$$f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0$$ 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
$$f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z$$ 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1}$$ 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4}$$ 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej $z$ zapíšeme v tvare: 
$$f'_z=-9z^{-4}\cos{y}$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.$$ 

Riešenie:  Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po priamkách:

$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=$  

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
 

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=0$ má hodnotu $1$, kým pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$), odvodíme, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 4: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$, $3$ za $y$ a $4$ za $z$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\frac{4+12}{6-4}=\frac{16}{2}=8$.  
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{16}{2}=8$$

(Keďže funkcia je v bode $[2;3;4]$ definovaná a spojitá, namiesto počítania limity stačí zistiť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode.)

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 5: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$ a $4$ za $y$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\frac{0}{8}$. 
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{0}{8}=0.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných 

Príklad 2: Vypočítajte prvú parciálnu deriváciu funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$. 

Riešenie: Rátať deriváciu funkcie v bode znamená predovšetkým rátať deriváciu funkcie. Aj v tomto prípade teda najskôr zrátame všeobecný tvar derivácie funkcie podľa premennej $z$ a do vzniklejšieho výrazu následne dosadíme súradnice bodu $A$ (vo všetkých výskytoch premennej $x$ v získanom výraze ju nahradíme číslom $\pi$, premennú $y$ nahradíme číslom $2$ a $z$ číslom $1$), čím získame (číselnú) hodnou derivácie funkcie v danom bode. (Derivácia funkcie v bode je vždy vyjadrená číselnou hodnotou, nie neurčitým výrazom!) 

Naša funkcia má tvar podielu, preto najskôr využijeme vzťah IV.: 
$$f'_z=\frac{[\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}]'_z\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot[3y^{3}-2^{z}]'_z}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$ 
Aj keď sa toto vyjadrenie môže zdať byť zložité, čo do derivácie v ňom ostáva zderivovať len výrazy 
$I_1=\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}$ a $I_2=3y^{3}-2^{z}$. 

Začnime výrazom $I_1$ a upravme ho podľa II.: 
$$[I_1]'_z=[\sin{3x}]'_z-[y^{2}z\cdot\ln{z}]_z$$ 
Menšenec daného výrazu neobsahuje premennú $z$, teda jeho derivácia podľa tejto premennej bude nulová. Menšiteľ je vzhľadom na premennú $z$ v tvare súčinu. Preto na jeho úpravu použijeme vzťah III. (Pozor na záporné znamienko pred zátvorkou, vynucuje si jej existenciu!): 
$$[I_1]'_z=0-([y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}+y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z)$$ 
Odstránime zátvorku: 
$$[I_1]'_z=-[y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z$$ 
Na prvý výraz aplikujeme I. a na druhý 5.: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}[z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot\frac{1}{z}$$ 
Prvý výraz upravíme pomocou 2., druhý krátením zjednodušíme a dostaneme výsledný tvar $[I_1]'_z$: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2}$$ 

Teraz zderivujme výraz $I_2$. Najskôr ho upravíme podľa II.: 
$$[I_2]'_z=[3y^{3}]'_z-[2^{z}]'_z$$ 
Menšenec daného rozdielu nie je funkciou premennej $z$, teda jeho derivácia podľa $z$ je podľa 1. rovná nule (aby nedošlo ku chybe znamienka menšiteľa, radšej pri prvotnej úprave výrazu $[I_2]'_z$ túto nulu napíšeme). Menšiteľ zderivujeme podľa 4. a dostaneme: 
$$[I_2]'_z=0-2^{z}\cdot\ln{2}$$ 

Výrazy $[I_1]'_z$ a $[I_2]'_z$ dosadíme na patričné miesto vo vyjadrení $f'_z$: 
$$f'_z=\frac{(-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2})\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot(-2^{z}\cdot\ln{2})}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$ 
Teraz do $f_z$ dosadíme súradnice bodu $A$ a upravíme: 
$$f'_z(A)=\frac{(-2^{2}1\cdot\ln{1}-2^{2})\cdot(3.2^{3}-2^{1})-(\sin{3\pi}-2^{2}1\cdot\ln{1})\cdot(-2^{1}\cdot\ln{2})}{(3.2^{3}-2^{1})^{2}}$$ 
$$f'_z(A)=\frac{(-4\cdot 0-4)\cdot(3.8-2)-(0-4\cdot 0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(3.8-2)^{2}}$$ 
$$f'_z(A)=\frac{(0-4)\cdot(24-2)-(0-0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(24-2)^{2}}$$
$$f'_z(A)=\frac{(-4)\cdot(22)-0}{(22)^{2}}=\frac{(-4)\cdot 22}{22^{2}}$$ 
Tu je vhodné si všimnúť, že je vhodnejšie získaný zlomok krátiť $22$, než $22$ umocňovať na druhú: 
$$f'_z(A)=-\frac{4}{22}=-\frac{2}{11}$$ 
Záverom môžeme skonštatovať, že parciálna derivácia funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$ je rovná $-\frac{2}{11}$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 3: Vypočítajte všetky parciálne derivácie druhého rádu funkcie $$f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{3})$$

Riešenie: Funkcia $f(x,y)$ dvoch premenných $x$ a $y$ má dve prvé parciálne derivácie - parciálnu deriváciu podľa prvej premennej ($f'_x$) a parciálnu deriváciu podľa druhej premennej ($f'_y$). Podobne ako v prípade derivovania funkcie jednej reálnej premennej, deriváciu druhého rádu získame opätovným zderivovaním funkcie, ktorá predstavuje výstup z prvého derivovania ($f''(x)=[f'(x)]'$). Keďže v prípade funkcie dvoch premenných máme dve prvé parciálne derivácie a každú z nich možno opätovne zderivovať podľa dvoch premenných, počet všetkých druhých derivácií funkcie $f(x,y)$ dvoch premenných bude $4$: $f''_{xx}=[f'_x]'_x$, $f''_{yy}=[f'_y]'_y$, $f''_{xy}=[f'_x]'_y$, $f''_{yx}=[f'_y]'_x$. Posledné dve z týchto štyroch derivácií nazývame zmiešané druhé derivácie funkcie a tieto sú rovnaké, pokiaľ je funkcia $f(x,y)$ spojitá. (Tento fakt možno využiť jednak na urýchlenie výpočtov, jednak na kontrolu, či nami vyrátaná jedna zmiešaná parciálna derivácia druhého rádu je vyrátaná správne, ak sa nezhoduje jej vyjadrenie s vyjadrením druhej zmiešanej parciálnej derivácie druhého rádu a funkcia $f(x,y)$ je pritom spojitá, signalizuje to chybu vo výpočte!)

Vypočítajme teda najskôr $f'_x$ a $f'_y$. Nakoľko $f$ je zložená funkcia tak z pohľadu premennej $x$, ako aj z pohľadu premennej $y$, v oboch prípadoch využijeme kombináciu vzťahov V. a 5., vzniknutý výraz doderivujeme použitím II. a 2. a 1. v prvom prípade a použitím II. a 1. a 2. v druhom prípade: $$f'_x=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_x= \frac{[x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x}{x^{2}+y^{3}}= \frac{2x^{2-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_y= \frac{[x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y}{x^{2}+y^{3}}= \frac{3y^{3-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}$$

Teraz môžeme pristúpiť k rátaniu parciálnych derivácií druhého rádu. Pri výpočte $f''_xx$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 2. a 1.: 
$$f''_{xx}=\frac{[2x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot [x^{2}+y^{3}]'_x}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2[x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot ([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{xx}=\frac{2(1x^{1-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot (2x^{2-1}+0)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{xx}=\frac{2(x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot(2x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2x^{2}+2y^{3}-4x^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Pri výpočte $f''_yy$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 1. a 2.: 
$$f''_{yy}=\frac{[3y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot [x^{2}+y^{3}]'_y}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{3[y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot ([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{yy}=\frac{3(2y^{2-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (0+3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y+6y^{4}-9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y-3y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Pri výpočte $f''_{xy}=[f'_x]'_y$ kvôli zjednodušeniu výpočtov využijeme prepis funkcie $f'_x=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$ do tvaru súčinu konštanty a funkcie: $f'_x=2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}$, ktorý možno derivovať pomocou I.:
$$f''_{xy}=[f'_x]'_y=[2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y =2x\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y$$ 
Hľadanú deriváciu následne nájdeme postupným aplikovaním vzťahov V. a 2., II., 1. a 2.: 
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1}\cdot[x^{2}+y^{3}]'_y$$
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)$$ 
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(0+3y^{3-1})$$
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(3y^{2})$$ 
$$f''_{xy}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Kvôli kontrole správnosti prevedených výpočtov (a preto, že sme spojitosť funkcie $f$ neoverovali), podobným spôsobom vypočítame i $f''_{yx}=[f'_y]'_x=[\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}]'_x$ po jej prepísaní na tvar súčinu konštanty a funkcie: $f''_{yx}=[3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$ a postupným využitím I., V. a 2., II., 2. a 1.:
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$$ 
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1})\cdot[x^{2}+y^{3}]'_x$$ 
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-2})\cdot([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)$$
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(2x^{2-1}+0)$$ 
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 2x$$ 
$$f''_{yx}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
Týmto výpočtom sme si zároveň overili platnosť $f''_{yx}=f''_{xy}$ pre spojitú $f$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 4: Vypočítajte $f'''_{xyy}$ funkcie $f(x,y)=e^{xy}$. 

Riešenie: Derivácia tretieho rádu sa získa deriváciou druhej derivácie funkcie. (Podobne sa získajú aj derivácie vyšších rádov.) 

Teda $f'''_{xyy}=[f''_{xy}]'_y=[[f'_{x}]'_y]'_y$. 

Funkcia $f(x,y)=e^{xy}$ je zloženou funkciou, teda $f'_{x}$ získame postupným aplikovaním vzťahov V. v kombinácii s 3., potom I., 2. a následnou úpravou: 
$$f'_{x}=[e^{xy}]'_x=e^{xy}\cdot[xy]'_x=e^{xy}\cdot y[x]'_x=e^{xy}\cdot y1x^{1-1}=e^{xy}\cdot y1x^{0}=e^{xy}y$$
$f''_{xy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{x}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xy}=[f'_{x}]'_y=[e^{xy}y]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot[y]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa 2.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{1-1}$$
Prvý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2. a následne celý výraz upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{0}=e^{xy}x1\cdot y + e^{xy}\cdot 1=e^{xy}(xy+1)$$  

$f''_{xyy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{xy}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xyy}=[f'_{xy}]'_y=[e^{xy}(xy+1)]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot[xy+1]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje opäť zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa II.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot ([xy]'_y+[1]'_y)$$
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}[xy]'_y+ e^{xy}[1]'_y$$

Prvý a druhý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2., tretí pomocou 1.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}x[y]'_y+ e^{xy}\cdot 0$$
$$f''_{xy}e^{xy}x1y^{1-1}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{1-1}+ 0$$ 


Napokon celý výraz ešte upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x1y^{0}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{0}$$
$$f''_{xy}=e^{xy}x\cdot (xy+1) + e^{xy}x=e^{xy}x\cdot ((xy+1)+1)$$

Záverom skonštatujeme, že $f''_{xyy}=e^{xy}x(xy+2)$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Dotyková rovina, normála 

Príklad 1: Určte rovnicu dotykovej plochy a normály grafu funkcie $z=f(x,y)=xy+x^{2}$ v bode $A=[x_0,y_0,z_0]=[2,-3,?]$.

Riešenie: Definičným oborom funkcie $f$ je množina $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$, funkcia je teda definovaná v každom bode roviny $R_{xy}$ predpisom $f(x,y)=xy+x^{2}$ (zároveň je v každom bode roviny $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$ spojitá a diferencovateľná). Teda $z$-tovú súradnicu bodu $A$, hodnotu $z_0$ získame tak, že vo výraze $xy+x^{2}$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (tu $2$) a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$ (tu $(-3)$):

$$z_0=2(-3)+2^{2}=(-6)+4=(-2)$$ 

Funkcia $f$ je daná explicitne (t.j. $z$ je vyjadrené funkciou premenných $x$ a $y$), teda pri riešení využijeme vzťahy pre rovnicu dotykovej plochy $\tau$ a normálovej priamky $n$ grafu funkcie určenej explicitne: 

$\tau: f'_x(A)\cdot(x-x_0)+f'_y(A)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0$ 

$n: x=x_0+f'_x(A)\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } y=y_0+f'_y(A)\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } z=z_0-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$ 

Vypočítame $f'_x$ použitím II., následne I. a 2., potom opäť 2. aplikujeme na prvý ščítanec súčtu 
$$f'_x=[xy+x^{2}]'_x=[xy]'_x+[x^{2}]'_x= y[x]'_x+2x^{2-1}=y1x^{1-1}+2x^{1}=y+2x$$ 
$f'_x(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_x$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$: 
$$f'_x(A)=(-3)+2\cdot 2=(-3)+4=1$$ 

Teraz vypočítame $f'_y$ použitím II., následne I. a 1., potom aplikujeme 2. na prvý ščítanec súčtu
$$f'_y=[xy+x^{2}]'_y=[xy]'_y+[x^{2}]'_y= x[y]'_y+0=x1y^{1-1}+0=x$$
$f'_y(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_y$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (a ak by sa tam nachádzalo nejaké $y$, tak za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$): 
$$f'_y(A)=2$$ 

Získané hodnoty dosadíme do rovníc pre $n$ a $\tau$: 

$n: x=2+1\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } y=(-3)+2\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } z=(-2)-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$ 

$\tau: 1\cdot(x-2)+2\cdot(y-(-3))-(z-(-2))=0$ 

Po úprave: 

$\tau: x-2+2y+2\cdot 3-(z+2)=0$ 

$\tau: x+2y-z+2=0$ 


Tým sme získali hľadané rovnice normály a dotykovej plochy ku grafu funkcie.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 1: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[-3,-1]} (x\ln{xy}).$$  

Riešenie: Dosadením $(-3)$ za $x$ a $(-1)$ za $y$ určíme typ limity: $(-3)\cdot\ln{(-3\cdot (-1))}=-3\cdot\ln{3}$.  
Nakoľko tento výraz nie je neurčitý, uvedenú limitu môžeme spočítať priamo:  
$$\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(x\ln{xy})=\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(-3)\cdot\ln{(-3\cdot (-1))}=$$ 
$$\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(-3)\cdot\ln{3}=(-3)\cdot \ln{3}.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 2: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[-3,1]} (x\ln{xy}).$$ 

Riešenie: Dosadením $(-3)$ za $x$ a $1$ za $y$ určíme typ limity: $(-3)\cdot\ln{(-3\cdot 1)}=-3\cdot\ln{(-3)}$. 
Nakoľko funkčná hodnota funkcie $y=\ln{x}$ nie je definovaná v bode $x=-3$, a ani na jeho okolí, definičný obor tejto funkcie je $(0;\infty)$, uvedená limita neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 3: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]} (x\ln{xy}).$$  

Riešenie: Dosadením $3$ za $x$ a $0^{+}$ za $y$ určíme typ limity: 

$3\cdot\ln{(3\cdot 0^{+})}=3\cdot\ln{0^{+}}$.

Nakoľko $\ln{0^{+}}\to -\infty$, uvedenú limitu môžeme spočítať takto: 

$$\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]}(x\ln{xy})=\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]}3\cdot\ln{(0^{+})}=3\cdot (- \infty)= - \infty.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 6: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}.$$ 

Riešenie: Najskôr si uvedenú limitu zjednodušíme využitím nasledujúcej vedomosti, že pre ľubovoľnú funkciu $f(X)$ platí: ak existuje $\lim_{X\to X_0} k\cdot f(X)$, tak táto je rovná $k \cdot\lim_{X\to X_0} f(X)$ pre ľubovoľnú konštantu $k\in\mathbb{R}$. Teda: 

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}= 4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$$

Teraz dosadením $9$ za $x$ a $3$ za $y$ určíme typ limity - v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je nula. Typ limity "kladná konštanta lomené nula" je neurčitý typ limity. Pri takomto type limity si pomôžeme limitami z rôznych strán (niečo podobné ako jednostranné limity pri funkcii jednej premennej)

$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ a $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Tu sme zvolilli približovanie sa po priamke, pričom jednu súradnicu bodu sme zafixovali. (Ak hodnoty týchto limít sú rôzne, výsledná limita funkcie $h(x,y)=\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, a teda ani $g(x,y)=4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, v danom bode $X_0=[x_0,y_0]=[9,3]$ neexistuje.)

Určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku väčšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne však zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $3,001$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak kladné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula kladná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak kladné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu kladné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)$$

Teraz určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku menšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne opäť zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $2,999$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak záporné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula záporná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak záporné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu záporné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(-\infty)$$

Nakoľko limita z jednej strany je iná ako limita rátaná z inej strany, $$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)\neq(- \infty)=\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x},$$

zhodnotíme, že $\lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ neexistuje, teda neexistuje ani 

 $4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, ani $ \lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. 

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 8: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}.$$

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú považujeme kvadratickú substitúcia, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po krivkách:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t^{2}; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|= $$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t(k\cdot t^{2})^{2}+\left(\sqrt{k\cdot t^{2}}\right)^{5}} =\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot (t^{2})^{2}+(k\cdot t^{2})^\frac{5}{2}}=$$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot t^{4}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{\frac{2.5}{2}}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{k^{2} \cdot t^{5}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{5}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}\cdot 1}{t^{5} (k^{2} +k^{\frac{5}{2}})}= $$

$$= \lim_{t\to 0} \frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}.$$

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$, kým pre $k=4$ má hodnotu $\frac{1}{48}$), $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 9: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}.$$ 

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Ako vhodná sa ukazuje byť substitúcia, ktorá našu limitu prevedie na limitu typu "nula lomené nula" jednej reálnej premennej, ktorú možno riešiť L'Hospitalovým pravidlom:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}=\left|Subst. \ x^{3}+y^{2}= t^{2}; t\to 0\right|= \lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}$$

(L'Hospitalovo pravidlo možno uplatniť pri výpočte limít typu "nula lomené nula" $\ $ alebo "nekonečno lomené nekonečno" funkcie jednej reálnej premennej v podielovom tvare (a všetkých limít, ktoré možno nejakými ekvivalentnými úpravami na takýto typ limity previesť).

L'Hospitalovo pravidlo hovorí o tom, že ak máme dve funkcie $f(t)$, $g(t)$, pre ktoré v bode $t_0$ platí $\lim_{t \to t_0} f(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$) a zároveň $\lim_{t \to t_0} g(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$), potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)}$, platí
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)},$

kde $f'(t)$ označuje deriváciu funkcie $f$ podľa premennej $t$ a $g'(t)$ označuje deriváciu funkcie $g$ podľa premennej $t$.

L'Hospitalovo pravidlo je použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Navyše ak je $\frac{f'(t)}{g'(t)}$ v bode $t_0$ opäť neurčitým výrazom, možno L’Hospitalovo pravidlo použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, až pokiaľ nezískame výraz, ktorý nie je neurčitý.)

$$\lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1\cdot t^{1-1}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1 \cdot t^{0}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1}=\frac{1}{1}=1.$$