Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou $z=4-x^{2}-y^{2}$.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.$

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami $x=0$ a $y=0$:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
$R_{yz}:\ x=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $x$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorú možno prepísať do tvaru: $(y-0)^{2}+(z-4)=0$ a je rovnicou paraboly. Prienik roviny $x=0$ s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou $R_{xz}:\ y=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $y$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny $y=0$ s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou $R_{xy}$, konkrétne $z=4$, $z=3$, $z=0$ a $z=-5$. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre $z>4$, nakoľko pre takéto $z$ je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za $z$ môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako $4$. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla $4$ za $z$ do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0$, ktorá má riešenie len pre $[x,y]=[0,0]$ - bod. Teda prienik roviny $z=4$ s našim telesom je bod $[x,y,z]=[0,0,4]$.
Dosadením čísla $3$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0$, teda rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0$ a po úprave $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1$, ktorá je v rovine $z=3$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $1$.
Analogicky dosadením čísla $0$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4$, ktorá je v rovine $z=0$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $2$. 
Podobne dosadením čísla $-5$ za $z$ analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9$, ktorá je v rovine $z=-5$ rovnicou kružnice so stredom v bode
$[x,y]=[0,0]$ a polomerom $3$.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
$[x,y,z]=[0,0,4]$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami sa presvedčte o tom, že plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$ je hyperboloidom.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru  $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ (viď predchádzajúci príklad). Roviny, ktorými budeme viesť rezy uvažovanej plochy zvolíme tak, aby boli rovnobežné so súradnicovými rovinami $R_{xy}$, $R_{yz}$ a $R_{xz}$ a tak, aby naše výpočty boli čo možno najjednoduchšie. Preto urobíme rezy plochy rovinami $x=4$, $y=(-1)$, $z=2$ (po dosadení $4$ za $x$, respektíve $(-1)$ za $y$ či $2$ za $z$ do rovnice $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ eliminujeme vždy jeden zo sčítancov a s ním aj jednu z premenných).
Rez plochy rovinou $x=4$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(4-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{yz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ so  stredom $S_{yz}=[n,s]=[-1,2]$ a s dĺžkami polosí $b=1$, $c=3$.
Rez plochy rovinou $y=(-1)$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(-1+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu elipsy $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$$ so stredom $S_{xz}=[m,s]=[4,2]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $c=3$.
´Napokon rez plochy rovinou $z=2$ predstavuje krivku, ktorá sa dá vyjadriť  rovnicou $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{3^{2}}=1.$$ Teda v rovine $R_{xz}$ sa jedná o rovnicu hyperboly $$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}$$ so stredom $S_{xy}=[m,n]=[4,-1]$ a dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$.

Nakoľko rez plochy rovinami $x=4$ a $z=2$ predstavuje hyperbolu, kým rez plochy rovinou $y=(-1)$ je elipsa, plocha popísaná rovnicou $x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$, respektíve rovnicou $\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{3^{2}}=1$ je jednodielny hyperboloid (so stredom $S=[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $a=9$, $b=1$ a $c=3$).

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 1: Pomocou vhodnej úpravy rovnice $4y^{2}+x^{2}+z^{2}+12z+35=0$ určte druh plochy ňou určenej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do jednej zátvorky zlúčime všetky členy obsahujúce z: $4y^p{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$. (Podobne by sme postupovali aj s ostatnými premennými, ak by sa vyskytovali viac ako raz.)
Výraz $[z^{2}+12z]$ upravíme použitím vzťahu $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ na (úplný alebo neúplný) štvorec. Ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $z^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$. Po odmocnení $a=z$. Podobne výraz $12z$ by odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=z$ dáva rovnicu $12z=2zb$. Pre nenulové $z$ tak dostávame $6=b$. V takomto prípade $b^2=6^{2}=36$. Táto sa vo výraze $[z^{2}+12z]$ dá získať trikom, a to pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[z^{2}+12z]$, pričom samotné pripočítanie nuly k výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[z^{2}+12z]=[z^{2}+12z+0]$. Následne túto nulu zapíšeme v tvare rozdielu dvoch identických čísel, konkrétne je potrebné dané čísla postaviť rovné  $b^2=6^{2}=36$. Dostaneme výraz $[z^{2}+12z+0]=[z^{2}+12z+6^{2}-36]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(z^{2}+2.6z+6^{2})-36]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne nahradiť výrazom $(z+6)^{2}$ na základe podobnosti so vzťahom $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ pre $a=z$ a $b=6$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[z^{2}+12z]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[z^{2}+12z]=[(z^{2}+12z+6^{2})-36]=[(z+6)^{2}-36]$.

Následne možno rovnicu
$$4y^{2}+x^{2}+[z^{2}+12z]+35=0$$
previesť na tvar
$$4y^{2}+x^{2}+[(z+6)^{2}-36]+35=0$$
a následne upraviť.
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-36+35=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+4y^{2}+(z+6)^{2}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{(z+6)^{2}}{1}=1$$
$$\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
$$\frac{(x-0)^{2}}{1^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{(z+6)^{2}}{1^{2}}=1$$
Táto rovnica pre $m=0$, $n=0$, $s=-6$, $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$ odpovedá rovnici elipsoidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c^{2}}=1.$$ 
Naša plocha je teda elipsoid so stredom $[m,n,s]=[0,0,6]$ a dĺžkami polosí: $a=1$, $b=\frac{1}{2}$ a $c=1$. 

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Kvadratické útvary v 3D - elipsoid, hyperboloid, paraboloid, ...

Príklad 2: Pomocou vhodnej úpravy rovnice
$$x^{2}-81y^{2}+9z^{2}-8x-162y-36z-110=0$$ určte druh plochy ňou popísanej.

Riešenie:
Uvedenú rovnicu prepíšeme do tvaru, kde do zátvoriek zlúčime sčítance obsahujúce rovnakú premennú (t.j. do jednej zátvorky dáme všetky výrazy s $x$, do druhej všetky výrazy s $y$ a do tretej všetky výrazy obsahujúce premennú $z$):
$[x^{2}-8x]+[-81y^{2}-162y]+[9z^{2}-36z]-110=0$. Ak sa v príslušných zátvorkách pri kvadratických členoch súčtu (druhých mocninách premennej) nachádzajú koeficienty rôzne od $1$, tieto vyberieme pred tú-ktorú zátvorku. V našom prípade týmto dostaneme rovnicu: $[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$. (Pozor na znamienka pri vyberaní záporného čísla pred zátvorku!) Každý z výrazov v zátvorke následne upravíme na (úplný alebo neúplný) štvorec, pričom využijeme vzťahy $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ a $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$.

Uvažujme výraz $[x^{2}-8x]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko mínus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $x^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=x$. Analogicky výraz $-8x$ by odpovedal výrazu $-2ab$, teda $8x=2ab$, čo pre $a=x$ (viď vyššie) dáva rovnicu $8x=2xb$, čo pre nenulové $x$ môžeme výrazom $2x$ podeliť a dostaneme  $b=4$. V takomto prípade by potom výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $4^{2}$, teda $16$. Táto sa vo výraze
$[x^{2}-8x]$ dá získať trikom, konkrétne pripočítaním nuly vo vhodnom tvare k $[x^{2}-8x]$. Samotné pripočítanie nuly k ľubovoľnému výrazu nezmení jeho hodnotu.
Teda $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+0]$. Túto nulu môžeme zapísať v tvare rozdielu dvoch identických čísel. Pre náš účel úpravy na štvorec je potrebné dané čísla postaviť rovné hodnote $b=4^{2}=16$. Dostaneme výraz $[x^{2}-8x+0]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]$, ktorý je ekvivalentný výrazu $[(x^{2}-2.4x+4^{2})-16]$. Výraz v oblej zátvorke môžeme následne upraviť použitím pravej strany vzťahu $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ na tvar $(x-4)^{2}$, nakoľko, ako sme uviedli vyššie, tu $a=x$ a $b=4$. Týmto dostaneme výslednú úpravu výrazu $[x^{2}-8x]$ na (neúplný) štvorec,  a teda rovnosť výrazov: $[x^{2}-8x]=[x^{2}-8x+4^{2}-16]=[(x-4)^{2}-16]$.

Analogicky budeme postupovať v prípade výrazu $[y^{2}+2y]$. Nakoľko medzi členmi výrazu je znamienko plus, budeme vychádzať zo vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. Všimneme si, že ak by sa jednalo o úplný štvorec, výraz $y^{2}$ by v ňom odpovedal výrazu $a^{2}$ uvedeného vzorca, teda po odmocnení dostávame $a=y$. Výraz $2y$ by tu  odpovedal výrazu $2ab$, čo pre $a=y$ dáva $b=1$. V takomto prípade by výrazu $b^{2}$ odpovedala hodnota $16^{2}$, teda $1$. Opäť ju vo výraze $[y^{2}+2y]$ dostaneme trikom pripočítavania nuly vo vhodnom tvare:
$[y^{2}+2y]=[y^{2}+2y+0]=[y^{2}+2y+1^{2}-1]$. Následne prvé tri členy súčtu zlúčime do jednej zátvorky, pričom vieme, že sú ekvivalentné s ľavou stranou vzorca $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ môžeme postupne písať:
$[y^{2}+2y+1^{2}-1]=[(y^{2}+2y+1^{2})-1]=[(y+1)^{2}-1]$. Tým sme výraz $[y^{2}+2y]$ upravili na (neúplný) štvorec.

Napokon pomocou vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ upravíme výraz $[z^{2}-4z]$. Podobne ako v predchádzajúcich prípadoch tu na základe porovnania prvých členov výrazu dostaneme $a=z$. Z rovnosti výrazov $-2ab=-4z$ pre $a=z$ dostaneme $2zb=4z$, čo pre nenulové $z$ dáva $b=2$. Teda $b^{2}=2^{2}=4$. Opäť na základe pripočítavania nuly vo vhodnom tvare k výrazu $[z^{2}-4z]$ môžeme písať: $[z^{2}-4z]=[z^{2}-4z+0]=[z^{2}-4z+2^{2}-4]=[(z^{2}-4z+2^{2})-4]$. Výraz v oblej zátvorke na základe ekvivalentnosti ($z=a$, $2=b$) a podľa vzorca $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ nahradíme výrazom $z-2$, čím dostaneme hľadanú úpravu výrazu $[z^{2}-4z]$ na tvar $[(z-2)^{2}-4]$.

Teraz už môžeme rovnicu
$$[x^{2}-8x]+(-81).[y^{2}+2y]+9[z^{2}-4z]-110=0$$ prepísať do tvaru
$$[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0.$$
Následne roznásobíme výrazy v zátvorkách pred nimi stojacimi koeficientami (viď nižšie) a vypočítame hodnotu absolútneho člena. 
$$1.[(x-4)^{2}-16]+(-81).[(y+1)^{2}-1]+9[(z-2)^{2}-4]-110=0$$
$$(x-4)^{2}-16+(-81).(y+1)^{2}+81+9(z-2)^{2}-36-110=0$$
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}-81=0$$
Ďalšími úpravami dostaneme:
$$(x-4)^{2}+(-81).(y+1)^{2}+9(z-2)^{2}=81$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{81.(y+1)^{2}}{81}+\frac{9(z-2)^{2}}{81}=\frac{81}{81}$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{81}-\frac{(y+1)^{2}}{1}+\frac{(z-2)^{2}}{9}=1$$
$$\frac{(x-4)^{2}}{9^{2}}-\frac{(y+1)^{2}}{1^{2}}+\frac{(z-2)^{2}}{36^{2}}=1$$
Táto rovnica odpovedá rovnici jednodielneho hyperboloidu
$$\frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-s)^{2}}{c6^{2}}=1$$
pre $m=4$, $n=-1$, $s=2$, $a=9$, $b=1$ a $c=3$.
Naša plocha je teda jednodielny hyperboloid so stredom $[m,n,s]=[4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $9$, $1$ a $3$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 1:  Určte rez plochy $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ rovinou $x=-1$. 

Riešenie:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy (vzhľadom na tvar rovnice vidíme, že sa jedná o elipsoid so stredom $[m,n,s]=[-2,1,0]$ a dĺžkami polosí $a=2$, $b=1$ a $c=4$) rovinou $x=-1$ získame tak, že do rovnice $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ za $x$ dosadíme $-1$. Získanú rovnicu $$\frac{(-1+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$ následne upravujeme:
$$\frac{1}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{1}{4}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{3}{4}$$
Teraz obe strany rovnice podelíme výrazom $\frac{3}{4}$ a upravíme:
$$\frac{\frac{(y-1)^{2}}{1}}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{z^{2}}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{12}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$$


Uvedená rovnica v rovine $x=-1$ odpovedá v rovine $R_{y,z}$ elipse so stredom v bode $[y,z]=[1,0]$ a s dĺžkami polosí $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a $\sqrt{12}$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 2:  Určte rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$.

Riešenie:
Krivku, ktorá by vznikla pri reze uvažovanej plochy (ktorá je podľa svojho analytického vyjadrenia dvojdielny hyperboloid so stredom $S=[-4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $2$, $2$ a $4$) rovinou $z=3$ získame tak, že do rovnice $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ za $z$ dosadíme $3$. Získanú rovnicu $$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(3-2)^{2}}{16}=1$$ ďalej upravujeme:
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{1}{16}=1$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1-\frac{1}{16}$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{15}{16}$$
Ak následne obe strany tejto rovnice vynásobíme $-4$, dôjdeme k zaujímavej rovnici:
$$(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{15}{4}$$
Ľavá strana tejto rovnice je súčtom dvoch druhých mocnín reálnych čísel, z ktorých každá predstavuje nezáporný výraz, a teda tento súčet je nezáporný. Na pravej strane rovnice je záporné číslo. Takáto rovnica teda nemá riešenie v obore reálnych čísel! Dostávame sa do sporu s našim predpokladom, že existuje krivka, ktorá vznikla ako rez uvažovanej plochy  rovinou $z=3$. \\
Z riešenia úlohy vyvodíme nasledujúci záver: Rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$ dáva prázdnu množinu bodov. Uvedená rovina plochu nepretína.