Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta 

2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ 

3. $[e^{x}]'=e^{x}$ 

4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$ 

5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$ 

6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$ 

7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$ 

8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$ 

9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ 

10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ 

11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$ 

14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$ 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$ 

II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$ 

III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ 

IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$ 

V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 

Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 1: Vypočítajte všetky prvé parciálne derivácie funkcie $$f(x,y,z)=\arcsin{3xy}+3z^{-3}\cos{y}+\ln{2}.$$
 
Riešenie: Najskôr zderivujeme podľa premennej $x$: 

Použitím pravidla II. môžeme písať:  
$$f'_x=[\arcsin{3xy}]'_x+[3z^{-3}\cos{y}]'_x+[\ln{2}]'_x.$$ 
Vidíme, že ani druhý, ani tretí ščítanec neobsahujú premennú $x$, čiže pri derivovaní podľa $x$ treba na nich nahliadať ako na konštanty, teda derivácia tak druhého ako aj tretieho ščítanca sa rovná nule. Ostáva nám derivovať prvý sčítanec daného súčtu, a teda výraz $\arcsin{3xy}$. Nakoľko sa jedná o zloženú funkciu, použijeme vzťah V. v kombinácii s 11.: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_x$$ 
Použitím I. dostaneme: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y[x]'_x$$
Napokon sa k výslednej parciálnej derivácii podľa premennej $x$ dostaneme použitím 2. vzorca a malou úpravou: 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{1-1}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y1x^{0}$$ 
$$f'_x=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3y$$

Zderivujme teraz danú funkciu podľa premennej $y$:

Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_y=[\arcsin{3xy}]'_y+[3z^{-3}\cos{y}]'_y+[\ln{2}]'_y.$$ Prvý sčítanec daného súčtu je zloženou funkciou, použijeme preto vzťah V. v kombinácii s 11. (všimnite si podobnosť tejto časti výrazu s predchádzajúcim prípadom derivácie funkcie podľa premennej $x$), zároveň môžeme upraviť druhý ščítanec využitím vzťahu I. a uvedomiť si, že tretí ščítanec je konštantou, teda jeho derivácia podľa ľubovoľnej premennej je rovná nule: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}[3xy]'_y+3z^{-3}[\cos{y}]'_y+0$$ 
Aplikovaním I. na prvý ščítanec a 8. na druhý ščítanec dostaneme: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x[y]'_y-3z^{-3}\sin{y}$$ 
Napokon zostávajúci výraz v hranatej zátvorke zderivujeme pomocou 2. vzorca, čím získame: 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{1-1}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x1y^{0}-3z^{-3}\sin{y}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{\sqrt{1-(3xy)^{2}}}3x-3z^{-3}\sin{y}$$ 

Zostáva zderivovať danú funkciu podľa premennej $z$. 
Použitím pravidla II. môžeme písať: 
$$f'_z=[\arcsin{3xy}]'_z+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+[\ln{2}]'_z$$ 
Vzhľadom na premennú $z$ len druhý sčítanec má nenulovú parciálnu deriváciu. Môžeme teda písať: 
$$f'_z=0+[3z^{-3}\cos{y}]'_z+0$$ 
Použijeme derivačné pravidlo I.: 
$$f'_z=3\cos{y}[z^{-3}]'_z$$ 
Teraz aplikujeme derivačný vzorec 2. a výsledok trochu upravíme. Aby sme sa vyhli misinterpretácii, použijeme aj zátvorky: 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-3-1}$$ 
$$f'_z=(3\cos{y})(-3)z^{-4}$$ 
Častejšie však radšej využívame prehodenie poradia činiteľov súčinu, preto aj výslednú parciálnu deriváciu podľa premennej $z$ zapíšeme v tvare: 
$$f'_z=-9z^{-4}\cos{y}$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných 

Príklad 2: Vypočítajte prvú parciálnu deriváciu funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$. 

Riešenie: Rátať deriváciu funkcie v bode znamená predovšetkým rátať deriváciu funkcie. Aj v tomto prípade teda najskôr zrátame všeobecný tvar derivácie funkcie podľa premennej $z$ a do vzniklejšieho výrazu následne dosadíme súradnice bodu $A$ (vo všetkých výskytoch premennej $x$ v získanom výraze ju nahradíme číslom $\pi$, premennú $y$ nahradíme číslom $2$ a $z$ číslom $1$), čím získame (číselnú) hodnou derivácie funkcie v danom bode. (Derivácia funkcie v bode je vždy vyjadrená číselnou hodnotou, nie neurčitým výrazom!) 

Naša funkcia má tvar podielu, preto najskôr využijeme vzťah IV.: 
$$f'_z=\frac{[\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}]'_z\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot[3y^{3}-2^{z}]'_z}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$ 
Aj keď sa toto vyjadrenie môže zdať byť zložité, čo do derivácie v ňom ostáva zderivovať len výrazy 
$I_1=\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}$ a $I_2=3y^{3}-2^{z}$. 

Začnime výrazom $I_1$ a upravme ho podľa II.: 
$$[I_1]'_z=[\sin{3x}]'_z-[y^{2}z\cdot\ln{z}]_z$$ 
Menšenec daného výrazu neobsahuje premennú $z$, teda jeho derivácia podľa tejto premennej bude nulová. Menšiteľ je vzhľadom na premennú $z$ v tvare súčinu. Preto na jeho úpravu použijeme vzťah III. (Pozor na záporné znamienko pred zátvorkou, vynucuje si jej existenciu!): 
$$[I_1]'_z=0-([y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}+y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z)$$ 
Odstránime zátvorku: 
$$[I_1]'_z=-[y^{2}z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot[\ln{z}]'_z$$ 
Na prvý výraz aplikujeme I. a na druhý 5.: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}[z]'_z\cdot\ln{z}-y^{2}z\cdot\frac{1}{z}$$ 
Prvý výraz upravíme pomocou 2., druhý krátením zjednodušíme a dostaneme výsledný tvar $[I_1]'_z$: 
$$[I_1]'_z=-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2}$$ 

Teraz zderivujme výraz $I_2$. Najskôr ho upravíme podľa II.: 
$$[I_2]'_z=[3y^{3}]'_z-[2^{z}]'_z$$ 
Menšenec daného rozdielu nie je funkciou premennej $z$, teda jeho derivácia podľa $z$ je podľa 1. rovná nule (aby nedošlo ku chybe znamienka menšiteľa, radšej pri prvotnej úprave výrazu $[I_2]'_z$ túto nulu napíšeme). Menšiteľ zderivujeme podľa 4. a dostaneme: 
$$[I_2]'_z=0-2^{z}\cdot\ln{2}$$ 

Výrazy $[I_1]'_z$ a $[I_2]'_z$ dosadíme na patričné miesto vo vyjadrení $f'_z$: 
$$f'_z=\frac{(-y^{2}1\cdot\ln{z}-y^{2})\cdot(3y^{3}-2^{z})-(\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z})\cdot(-2^{z}\cdot\ln{2})}{(3y^{3}-2^{z})^{2}}$$ 
Teraz do $f_z$ dosadíme súradnice bodu $A$ a upravíme: 
$$f'_z(A)=\frac{(-2^{2}1\cdot\ln{1}-2^{2})\cdot(3.2^{3}-2^{1})-(\sin{3\pi}-2^{2}1\cdot\ln{1})\cdot(-2^{1}\cdot\ln{2})}{(3.2^{3}-2^{1})^{2}}$$ 
$$f'_z(A)=\frac{(-4\cdot 0-4)\cdot(3.8-2)-(0-4\cdot 0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(3.8-2)^{2}}$$ 
$$f'_z(A)=\frac{(0-4)\cdot(24-2)-(0-0)\cdot(-2\cdot\ln{2})}{(24-2)^{2}}$$
$$f'_z(A)=\frac{(-4)\cdot(22)-0}{(22)^{2}}=\frac{(-4)\cdot 22}{22^{2}}$$ 
Tu je vhodné si všimnúť, že je vhodnejšie získaný zlomok krátiť $22$, než $22$ umocňovať na druhú: 
$$f'_z(A)=-\frac{4}{22}=-\frac{2}{11}$$ 
Záverom môžeme skonštatovať, že parciálna derivácia funkcie $$f(x,y,z)=\frac{\sin{3x}-y^{2}z\cdot\ln{z}}{3y^{3}-2^{z}}$$ podľa premennej $z$ v bode $A=[\pi,2,1]$ je rovná $-\frac{2}{11}$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 3: Vypočítajte všetky parciálne derivácie druhého rádu funkcie $$f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{3})$$

Riešenie: Funkcia $f(x,y)$ dvoch premenných $x$ a $y$ má dve prvé parciálne derivácie - parciálnu deriváciu podľa prvej premennej ($f'_x$) a parciálnu deriváciu podľa druhej premennej ($f'_y$). Podobne ako v prípade derivovania funkcie jednej reálnej premennej, deriváciu druhého rádu získame opätovným zderivovaním funkcie, ktorá predstavuje výstup z prvého derivovania ($f''(x)=[f'(x)]'$). Keďže v prípade funkcie dvoch premenných máme dve prvé parciálne derivácie a každú z nich možno opätovne zderivovať podľa dvoch premenných, počet všetkých druhých derivácií funkcie $f(x,y)$ dvoch premenných bude $4$: $f''_{xx}=[f'_x]'_x$, $f''_{yy}=[f'_y]'_y$, $f''_{xy}=[f'_x]'_y$, $f''_{yx}=[f'_y]'_x$. Posledné dve z týchto štyroch derivácií nazývame zmiešané druhé derivácie funkcie a tieto sú rovnaké, pokiaľ je funkcia $f(x,y)$ spojitá. (Tento fakt možno využiť jednak na urýchlenie výpočtov, jednak na kontrolu, či nami vyrátaná jedna zmiešaná parciálna derivácia druhého rádu je vyrátaná správne, ak sa nezhoduje jej vyjadrenie s vyjadrením druhej zmiešanej parciálnej derivácie druhého rádu a funkcia $f(x,y)$ je pritom spojitá, signalizuje to chybu vo výpočte!)

Vypočítajme teda najskôr $f'_x$ a $f'_y$. Nakoľko $f$ je zložená funkcia tak z pohľadu premennej $x$, ako aj z pohľadu premennej $y$, v oboch prípadoch využijeme kombináciu vzťahov V. a 5., vzniknutý výraz doderivujeme použitím II. a 2. a 1. v prvom prípade a použitím II. a 1. a 2. v druhom prípade: $$f'_x=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_x= \frac{[x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x}{x^{2}+y^{3}}= \frac{2x^{2-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$$ 
$$f'_y=\frac{1}{x^{2}+y^{3}}[x^{2}+y^{3}]'_y= \frac{[x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y}{x^{2}+y^{3}}= \frac{3y^{3-1}}{x^{2}+y^{3}}=\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}$$

Teraz môžeme pristúpiť k rátaniu parciálnych derivácií druhého rádu. Pri výpočte $f''_xx$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 2. a 1.: 
$$f''_{xx}=\frac{[2x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot [x^{2}+y^{3}]'_x}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2[x]'_x\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot ([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{xx}=\frac{2(1x^{1-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot (2x^{2-1}+0)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{xx}=\frac{2(x^{2}+y^{3})-(2x)\cdot(2x)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{xx}=\frac{2x^{2}+2y^{3}-4x^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Pri výpočte $f''_yy$ využijeme postupne vzťahy IV., ďalej I. a II., a ďalej 2., 1. a 2.: 
$$f''_{yy}=\frac{[3y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot [x^{2}+y^{3}]'_y}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{3[y^{2}]'_y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot ([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{yy}=\frac{3(2y^{2-1})\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (0+3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6y\cdot (x^{2}+y^{3})-(3y^{2})\cdot (3y^{2})}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y+6y^{4}-9y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
$$f''_{yy}=\frac{6x^{2}y-3y^{4}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Pri výpočte $f''_{xy}=[f'_x]'_y$ kvôli zjednodušeniu výpočtov využijeme prepis funkcie $f'_x=\frac{2x}{x^{2}+y^{3}}$ do tvaru súčinu konštanty a funkcie: $f'_x=2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}$, ktorý možno derivovať pomocou I.:
$$f''_{xy}=[f'_x]'_y=[2x\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y =2x\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_y$$ 
Hľadanú deriváciu následne nájdeme postupným aplikovaním vzťahov V. a 2., II., 1. a 2.: 
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1}\cdot[x^{2}+y^{3}]'_y$$
$$f''_{xy}=2x\cdot(-1)(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot([x^{2}]'_y+[y^{3}]'_y)$$ 
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(0+3y^{3-1})$$
$$f''_{xy}=-2x(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(3y^{2})$$ 
$$f''_{xy}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$ 
Kvôli kontrole správnosti prevedených výpočtov (a preto, že sme spojitosť funkcie $f$ neoverovali), podobným spôsobom vypočítame i $f''_{yx}=[f'_y]'_x=[\frac{3y^{2}}{x^{2}+y^{3}}]'_x$ po jej prepísaní na tvar súčinu konštanty a funkcie: $f''_{yx}=[3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$ a postupným využitím I., V. a 2., II., 2. a 1.:
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot[(x^{2}+y^{3})^{-1}]'_x$$ 
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-1-1})\cdot[x^{2}+y^{3}]'_x$$ 
$$f''_{yx}=3y^{2}\cdot((-1)(x^{2}+y^{3})^{-2})\cdot([x^{2}]'_x+[y^{3}]'_x)$$
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot(2x^{2-1}+0)$$ 
$$f''_{yx}=-3y^{2}\cdot(x^{2}+y^{3})^{-2}\cdot 2x$$ 
$$f''_{yx}=\frac{-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{3})^{2}}$$
Týmto výpočtom sme si zároveň overili platnosť $f''_{yx}=f''_{xy}$ pre spojitú $f$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

Príklad 4: Vypočítajte $f'''_{xyy}$ funkcie $f(x,y)=e^{xy}$. 

Riešenie: Derivácia tretieho rádu sa získa deriváciou druhej derivácie funkcie. (Podobne sa získajú aj derivácie vyšších rádov.) 

Teda $f'''_{xyy}=[f''_{xy}]'_y=[[f'_{x}]'_y]'_y$. 

Funkcia $f(x,y)=e^{xy}$ je zloženou funkciou, teda $f'_{x}$ získame postupným aplikovaním vzťahov V. v kombinácii s 3., potom I., 2. a následnou úpravou: 
$$f'_{x}=[e^{xy}]'_x=e^{xy}\cdot[xy]'_x=e^{xy}\cdot y[x]'_x=e^{xy}\cdot y1x^{1-1}=e^{xy}\cdot y1x^{0}=e^{xy}y$$
$f''_{xy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{x}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xy}=[f'_{x}]'_y=[e^{xy}y]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot[y]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa 2.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{1-1}$$
Prvý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2. a následne celý výraz upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot y + e^{xy}\cdot 1 y^{0}=e^{xy}x1\cdot y + e^{xy}\cdot 1=e^{xy}(xy+1)$$  

$f''_{xyy}$ získame parciálnym derivovaním funkcie $f'_{xy}$ podľa premennej $y$. Najskôr využijeme vzťah III.: 
$$f''_{xyy}=[f'_{xy}]'_y=[e^{xy}(xy+1)]'_y=[e^{xy}]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot[xy+1]'_y$$
Prvý ščítanec predstavuje opäť zloženú funkciu, preto použijeme vzťah V. v kombinácii s 3., druhý sčítanec zderivujeme podľa II.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}\cdot ([xy]'_y+[1]'_y)$$
$$f''_{xy}=e^{xy}[xy]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}[xy]'_y+ e^{xy}[1]'_y$$

Prvý a druhý ščítanec doderivujeme použitím I. a 2., tretí pomocou 1.: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x[y]'_y\cdot (xy+1) + e^{xy}x[y]'_y+ e^{xy}\cdot 0$$
$$f''_{xy}e^{xy}x1y^{1-1}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{1-1}+ 0$$ 


Napokon celý výraz ešte upravíme: 
$$f''_{xy}=e^{xy}x1y^{0}\cdot (xy+1) + e^{xy}x1y^{0}$$
$$f''_{xy}=e^{xy}x\cdot (xy+1) + e^{xy}x=e^{xy}x\cdot ((xy+1)+1)$$

Záverom skonštatujeme, že $f''_{xyy}=e^{xy}x(xy+2)$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Dotyková rovina, normála 

Príklad 1: Určte rovnicu dotykovej plochy a normály grafu funkcie $z=f(x,y)=xy+x^{2}$ v bode $A=[x_0,y_0,z_0]=[2,-3,?]$.

Riešenie: Definičným oborom funkcie $f$ je množina $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$, funkcia je teda definovaná v každom bode roviny $R_{xy}$ predpisom $f(x,y)=xy+x^{2}$ (zároveň je v každom bode roviny $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$ spojitá a diferencovateľná). Teda $z$-tovú súradnicu bodu $A$, hodnotu $z_0$ získame tak, že vo výraze $xy+x^{2}$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (tu $2$) a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$ (tu $(-3)$):

$$z_0=2(-3)+2^{2}=(-6)+4=(-2)$$ 

Funkcia $f$ je daná explicitne (t.j. $z$ je vyjadrené funkciou premenných $x$ a $y$), teda pri riešení využijeme vzťahy pre rovnicu dotykovej plochy $\tau$ a normálovej priamky $n$ grafu funkcie určenej explicitne: 

$\tau: f'_x(A)\cdot(x-x_0)+f'_y(A)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0$ 

$n: x=x_0+f'_x(A)\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } y=y_0+f'_y(A)\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } z=z_0-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$ 

Vypočítame $f'_x$ použitím II., následne I. a 2., potom opäť 2. aplikujeme na prvý ščítanec súčtu 
$$f'_x=[xy+x^{2}]'_x=[xy]'_x+[x^{2}]'_x= y[x]'_x+2x^{2-1}=y1x^{1-1}+2x^{1}=y+2x$$ 
$f'_x(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_x$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$: 
$$f'_x(A)=(-3)+2\cdot 2=(-3)+4=1$$ 

Teraz vypočítame $f'_y$ použitím II., následne I. a 1., potom aplikujeme 2. na prvý ščítanec súčtu
$$f'_y=[xy+x^{2}]'_y=[xy]'_y+[x^{2}]'_y= x[y]'_y+0=x1y^{1-1}+0=x$$
$f'_y(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_y$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (a ak by sa tam nachádzalo nejaké $y$, tak za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$): 
$$f'_y(A)=2$$ 

Získané hodnoty dosadíme do rovníc pre $n$ a $\tau$: 

$n: x=2+1\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } y=(-3)+2\cdot t$ 

$\phantom{n:\ } z=(-2)-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$ 

$\tau: 1\cdot(x-2)+2\cdot(y-(-3))-(z-(-2))=0$ 

Po úprave: 

$\tau: x-2+2y+2\cdot 3-(z+2)=0$ 

$\tau: x+2y-z+2=0$ 


Tým sme získali hľadané rovnice normály a dotykovej plochy ku grafu funkcie.