Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 10: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}.$$ 

Riešenie: Dokazovanie toho, že nejaká limita neexistuje pomocou opakovaných limít je založené na fakte, že ak funkcia $f(x,y)$ má v bode $X_0=[x_0,y_0]$ limitu rovnú $L$, teda

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y) = L$$

a existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a tiež existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

tak nevyhnutne $L=L_1=L_2$. Uvedené tvrdenie sa využíva v nasledujúcom tvare: Ak existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

avšak $L_1\neq L_2$, tak neexistuje

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y).$$

Počítajme teda

$$L_1=\lim_{x\to 0} \left(\lim_{y\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{1}=1$$

Teraz počítajme

$$L_2=\lim_{y\to 0} \left(\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{y\to 0} \frac{y}{-y}=\lim_{y\to 0} \frac{1}{-1}=-1$$

Keďže $L_1=1\neq (-1)=L_2$, $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}$ neexistuje. 

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 11: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}.$$

Riešenie: Podobne ako v predchádzajúcej úlohe vyrátame

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}} \right) = $$

$$ = \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{1}{y^{2}} \right)=\lim_{x\to \infty} 0=0$$

(Pri počítaní sme si uvedomili, že $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde na výrazy $3x^{2}$ a $4x^{2}$ sme nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{y}{y^{3}}$! Rovnosť $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $x$ ako na konštantu. Preto je písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, veľmi dôležité!)  

Teraz vypočítame hodnotu $L_2$:

$$L_2=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}} \right) = $$

$$ = \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3}{4} \right)=\lim_{y\to \infty} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

(Pri počítaní sme si tu uvedomili, že $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je opäť limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde sme na výrazy $y$ a $y^{3}$ nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, opäť netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{3x^{2}}{4x^{2}}$! Rovnosť $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $y$ ako na konštantu. To znova dokazuje, že písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, je veľmi dôležité!) 

Napokon porovnáme $L_1$ s $L_2$:   

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=0\neq \frac{3}{4}=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=L_2$$

Teda $$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$$ neexistuje.