Funkcia viac premenných
Dotyková rovina, normála
Príklad 1: Určte rovnicu dotykovej plochy a normály grafu funkcie $z=f(x,y)=xy+x^{2}$ v bode $A=[x_0,y_0,z_0]=[2,-3,?]$.
Riešenie: Definičným oborom funkcie $f$ je množina $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$, funkcia je teda definovaná v každom bode roviny $R_{xy}$ predpisom $f(x,y)=xy+x^{2}$ (zároveň je v každom bode roviny $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$ spojitá a diferencovateľná). Teda $z$-tovú súradnicu bodu $A$, hodnotu $z_0$ získame tak, že vo výraze $xy+x^{2}$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (tu $2$) a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$ (tu $(-3)$):
$$z_0=2(-3)+2^{2}=(-6)+4=(-2)$$
Funkcia $f$ je daná explicitne (t.j. $z$ je vyjadrené funkciou premenných $x$ a $y$), teda pri riešení využijeme vzťahy pre rovnicu dotykovej plochy $\tau$ a normálovej priamky $n$ grafu funkcie určenej explicitne:
$\tau: f'_x(A)\cdot(x-x_0)+f'_y(A)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0$
$n: x=x_0+f'_x(A)\cdot t$
$\phantom{n:\ } y=y_0+f'_y(A)\cdot t$
$\phantom{n:\ } z=z_0-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$
Vypočítame $f'_x$ použitím II., následne I. a 2., potom opäť 2. aplikujeme na prvý ščítanec súčtu
$$f'_x=[xy+x^{2}]'_x=[xy]'_x+[x^{2}]'_x= y[x]'_x+2x^{2-1}=y1x^{1-1}+2x^{1}=y+2x$$
$f'_x(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_x$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ a za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$:
$$f'_x(A)=(-3)+2\cdot 2=(-3)+4=1$$
Teraz vypočítame $f'_y$ použitím II., následne I. a 1., potom aplikujeme 2. na prvý ščítanec súčtu
$$f'_y=[xy+x^{2}]'_y=[xy]'_y+[x^{2}]'_y= x[y]'_y+0=x1y^{1-1}+0=x$$
$f'_y(A)$ vypočítame tak, že do vyjadrenia $f'_y$ za $x$ dosadíme hodnotu $x_0$ (a ak by sa tam nachádzalo nejaké $y$, tak za $y$ dosadíme hodnotu $y_0$):
$$f'_y(A)=2$$
Získané hodnoty dosadíme do rovníc pre $n$ a $\tau$:
$n: x=2+1\cdot t$
$\phantom{n:\ } y=(-3)+2\cdot t$
$\phantom{n:\ } z=(-2)-1\cdot t$; $\qquad t\in\mathbb{R}$
$\tau: 1\cdot(x-2)+2\cdot(y-(-3))-(z-(-2))=0$
Po úprave:
$\tau: x-2+2y+2\cdot 3-(z+2)=0$
$\tau: x+2y-z+2=0$
Tým sme získali hľadané rovnice normály a dotykovej plochy ku grafu funkcie.
