Funkcia viac premenných
Derivácia funkcie viac premenných
Parciálne derivácie funkcie viac premenných
V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.
1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta
2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$
3. $[e^{x}]'=e^{x}$
4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$
5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$
6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$
7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$
8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$
9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$
10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$
11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$
14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$
Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá:
I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$
II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$
III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$
IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$
V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$
Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$.
Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.
