Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 3: Pomocou rezov plochy rôznymi rovinami určte druh plochy určenej rovnicou $z=4-x^{2}-y^{2}$.

Riešenie:
Rovnicu prepíšeme do tvaru $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0.$

Najskôr budeme uvažovať rezy rovinami $x=0$ a $y=0$:

Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou
$R_{yz}:\ x=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $x$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(0-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorú možno prepísať do tvaru: $(y-0)^{2}+(z-4)=0$ a je rovnicou paraboly. Prienik roviny $x=0$ s uvažovanou plochou je teda parabola.

Podobne krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy rovinou $R_{xz}:\ y=0$ získame tak, že do rovnice $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-4)=0$ za $y$ dosadíme $0$. Dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(z-4)=0$, ktorá je tiež rovnicou paraboly. Teda prienik roviny $y=0$ s uvažovanou plochou je parabola.

Napokon uvažujme rez uvažovanej plochy rovinami rovnobežnými s rovinou $R_{xy}$, konkrétne $z=4$, $z=3$, $z=0$ a $z=-5$. (Poznamenajme, že rovnica popisujúca plochu nemá riešenie pre $z>4$, nakoľko pre takéto $z$ je výraz v poslednej zátvorke kladný, a keďže aj druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, súčet dvoch druhých mocnín nejakých čísel zväčšený o kladné číslo nemôže byť rovný nule. Teda za $z$ môžeme voliť ľubovoľné reálne čísla nie väčšie ako $4$. Nami zvolené čísla boli vyberané s ohľadom na jednoduchosť následných výpočtov.)
Dosadením čísla $4$ za $z$ do  analytického vyjadrenia plochy eliminujeme výraz v poslednej zátvorke a dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=0$, ktorá má riešenie len pre $[x,y]=[0,0]$ - bod. Teda prienik roviny $z=4$ s našim telesom je bod $[x,y,z]=[0,0,4]$.
Dosadením čísla $3$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(3-4)=0$, teda rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(-1)=0$ a po úprave $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=1$, ktorá je v rovine $z=3$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $1$.
Analogicky dosadením čísla $0$ za $z$ do analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=4$, ktorá je v rovine $z=0$ rovnicou kružnice so stredom v bode $[x,y]=[0,0]$ a polomerom $2$. 
Podobne dosadením čísla $-5$ za $z$ analytického vyjadrenia plochy dostaneme rovnicu $(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=9$, ktorá je v rovine $z=-5$ rovnicou kružnice so stredom v bode
$[x,y]=[0,0]$ a polomerom $3$.

Na základe tejto analýzy môžeme plochu nakresliť a zhodnotiť, že sa jedná o paraboloid s vrcholom v bode
$[x,y,z]=[0,0,4]$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 1:  Určte rez plochy $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ rovinou $x=-1$. 

Riešenie:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy (vzhľadom na tvar rovnice vidíme, že sa jedná o elipsoid so stredom $[m,n,s]=[-2,1,0]$ a dĺžkami polosí $a=2$, $b=1$ a $c=4$) rovinou $x=-1$ získame tak, že do rovnice $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ za $x$ dosadíme $-1$. Získanú rovnicu $$\frac{(-1+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$ následne upravujeme:
$$\frac{1}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{1}{4}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{3}{4}$$
Teraz obe strany rovnice podelíme výrazom $\frac{3}{4}$ a upravíme:
$$\frac{\frac{(y-1)^{2}}{1}}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{z^{2}}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{12}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$$


Uvedená rovnica v rovine $x=-1$ odpovedá v rovine $R_{y,z}$ elipse so stredom v bode $[y,z]=[1,0]$ a s dĺžkami polosí $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a $\sqrt{12}$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 2:  Určte rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$.

Riešenie:
Krivku, ktorá by vznikla pri reze uvažovanej plochy (ktorá je podľa svojho analytického vyjadrenia dvojdielny hyperboloid so stredom $S=[-4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $2$, $2$ a $4$) rovinou $z=3$ získame tak, že do rovnice $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ za $z$ dosadíme $3$. Získanú rovnicu $$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(3-2)^{2}}{16}=1$$ ďalej upravujeme:
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{1}{16}=1$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1-\frac{1}{16}$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{15}{16}$$
Ak následne obe strany tejto rovnice vynásobíme $-4$, dôjdeme k zaujímavej rovnici:
$$(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{15}{4}$$
Ľavá strana tejto rovnice je súčtom dvoch druhých mocnín reálnych čísel, z ktorých každá predstavuje nezáporný výraz, a teda tento súčet je nezáporný. Na pravej strane rovnice je záporné číslo. Takáto rovnica teda nemá riešenie v obore reálnych čísel! Dostávame sa do sporu s našim predpokladom, že existuje krivka, ktorá vznikla ako rez uvažovanej plochy  rovinou $z=3$. \\
Z riešenia úlohy vyvodíme nasledujúci záver: Rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$ dáva prázdnu množinu bodov. Uvedená rovina plochu nepretína.