Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných 

Derivácia funkcie viac premenných

 

Parciálne derivácie funkcie viac premenných

V nasledujúcich úlohách budeme používať derivačné vzorce pre deriváciu funkcie jednej premennej a ukážeme si, ako sa dajú tieto vzorce použiť pri hľadaní parciálnych derivácií funkcie viac premenných. Pre jednoduchosť zápisov si tieto vzorce očíslujeme a v ďalšom texte sa budeme odvolávať len na ich poradové číslo.  

1. $[c]'=0$, kde $c$ je konštanta 

2. $[x^{\alpha}]'=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ 

3. $[e^{x}]'=e^{x}$ 

4. $[a^{x}]'=a^{x}\cdot \ln{a}$ 

5. $[\ln{x}]'=\frac{1}{x}$ 

6. $[\log_{a}{x}]'=\frac{1}{x\cdot\ln{a}}$ 

7. $[\sin{x}]'=\cos{x}$ 

8. $[\cos{x}]'=-\sin{x}$ 

9. $[$tg ${x}]'=\frac{1}{\cos^{2}{x}}$ 

10. $[$cotg ${x}]'=-\frac{1}{\sin^{2}{x}}$ 

11. $[\arcsin{x}]'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

12. $[\arccos{x}]'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 

13. $[$arctg ${x}]'=\frac{1}{1+x^{2}}$ 

14. $[$arccotg ${x}]'=-\frac{1}{1+x^{2}}$ 


Pri derivovaní budeme používať i tieto derivačné pravidlá: 

I. $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)$ 

II. $[f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)$ 

III. $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$ 

IV. $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$ 

V. $[f((g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 

Pod označením $c$ v príslušných pravidlách sa skrýva konštanta a $f(x)$, $g(x)$ predstavujú funkcie premennej $x$. 

Pri parciálnom derivovaní funkcie viac premenných (napríklad $f=f(x,y,z)$ podľa niektorej z premenných (napríklad $y$) nahliadame na všetky ostatné premenné, tie, podľa ktorých nederivujeme (tu $x$ a $z$), ako na konštanty. V horeuvedených derivačných vzorcoch a pravidlách premennú $x$ nahradíme práve tou premennou, podľa ktorej derivujeme (tu $y$) a používame ich ako pri funkcii jednej reálnej premennej.

Funkcia viac premenných

 Funkcia viac premenných

 Lokálne extrémy funkcie

Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4.$$

Riešenie:
Nájdeme stacionárne body funkcie.

Vypočítame parciálne derivácie pravého rádu.
$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& -4xy+8x^3\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 2y-2x^2
\end{array}$$

Položíme parciálne derivácie prvého rádu rovné nule a riešime sústavu rovníc
$$\begin{array}{rcl}
 -4xy+8x^3&=&0\\
 2y-2x^2&=&0.
\end{array}$$

Z druhej rovnice vyjadríme jednu neznámu, napr. $y=x^2$ a dosadíme do prvej rovnice, čím dostávame

$$\begin{array}{rcl}
 -4x^3+8x^3&=&0\\
 4x^3&=&0\\
 x^3&=&0\\
 x&=&0.
\end{array}$$

Existuje jediný stacionárny bod funkcie $f(x,y)$ so súradnicami $A=[0,0]$. Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či v tomto bode existuje extrém.

Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu
$$\begin{array}{ccl}
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& -4y+24x^2\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& -4x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 2\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& -4x
\end{array}$$

do predpisov takto získaných funkcií dosadíme súradnice stacionárneho bodu a vypočítame determinant

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr}
0& 0\\
0 & 2\\
\end{array} \right\vert = 0. $$

Keďže je determinant rovný nule, o existencii lokálneho extrému v bode $A$ nevieme na základe postačujúcej podmienky existencie extrému rozhodnúť.

Vyšetríme funkciu $f(x,y)$ v okolí stacionárneho bodu $A$ inými metódami, napríklad otestujeme funkčné hodnoty v okolí bodu $A$.

Funkčné hodnoty v okolí body $A$ vyšetríme pomocou upraveného predpisu funkcie
$$ f(x,y)= y^2-2x^2y+2x^4=(y-x^2)^2-x^4+2x^4=(y-x^2)^2+x^4.$$
Vidíme, že výraz $(y-x^2)^2+x^4$ je vždy kladný. Nulovú hodnotu nadobudne iba, ak $x=0$ a zároveň $y=0$.  Teda v bode $A$ je lokálne minimum funkcie $f(x,y)$.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

Príklad 1: Nájdite lokálne extrémy funkcie $\displaystyle f(x,y)= x^3+3xy^2-51x-24y$.

Riešenie:

Z prvých parciálnych derivácií funkcie $f(x,y)$ určíme stacionárne body.

$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24
\end{array}$$

Následne prvé parciálne derivácie položíme rovné nule, pričom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

$$\begin{array}{ccl}
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=& 3x^2+3y^2-51\\
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 6xy-24.
\end{array}$$

Sústavu vyriešime dosadzovacou metódou. Z druhej rovnice vyjadríme jednu z premenných napr. $y=\frac{4}{x} $ a toto vyjadrenie dosadíme do prvej rovnice. Dostávame

$$\begin{array}{rcl}
x^2+\left(\frac{4}{x}\right)^2-17&=&0\\
x^2+\frac{16}{x^2}-17&=&0\\
x^4+16-17x^2&=&0\\
x^4-17x^2+16&=&0.
\end{array}$$

Hľadáme riešenie rovnice vyššieho stupňa. Využijeme substitúciu, ktorou sa táto rovnica zmení na rovnicu druhého stupňa (kvadratickú rovnicu).
Rovnicu upravíme: $(x^2)^2-17x^2+16=0$. Zavedieme substitúciu $x^2=a$ a hľadáme korene kvadratickej rovnice.

$$\begin{array}{rcl}
a^2-17a^2+16&=&0 \\
(a-16)(a-1)&=&0.
\end{array}$$

Keďže $x^2=a$, potom
$(x^2-16)(x^2-1)=0$. Súčin je rovný nule vtedy a len vtedy, ak je jeden z činiteľov rovný nule, t.j.

• $x^2=16$, teda $x_1=4$ a $x_2=-4$,
• $x^2=1$, teda $x_3=1$ a $x_4=-1$.

Dosadením do vyjadrenia pre $y$ dostávame súradnice $4$ stacionárnych bodov.
$$\begin{array}{ccl}
A&=&[4,1]\\
B&=&[-4,-1]\\
C&=&[1,4]\\
D&=&[-1, -4]
\end{array}$$

Na základe postačujúcej podmienky existencie extrému overíme, či tieto stacionárne body sú aj body, v ktorých funkcia $f(x,y)$ nadobúda lokálne extrémy.

Parciálne derivácie druhého rádu.
$$\begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}&=& 6x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial xy}&=& 6y\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}&=& 6x\\
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial yx}&=& 6y
\end{array}$$

Určíme jednotlivé determinanty pre príslušné stacionárne body;

$$D_A=\left\vert\begin{array}{rr}
24& 6\\
6 & 24\\
\end{array} \right\vert = 576-36>0. $$

V bode $A$ existuje extrém. Keďže $24>0$, je v tomto bode lokálne minimum.

$$D_B=\left\vert\begin{array}{rr}
-24& -6\\
-6 & -24\\
\end{array} \right\vert = 576-36>0. $$

V bode $B$ existuje extrém. Keďže $-24<0$, je v tomto bode lokálne maximum.

$$D_C=\left\vert\begin{array}{rr}
6& 24\\
24 & 6\\
\end{array} \right\vert = 36-576<0. $$

V bode $C$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.

$$D_D=\left\vert\begin{array}{rr}
-6& -24\\
-24 & -6\\
\end{array} \right\vert = 36-576<0. $$

V bode $D$ neexistujú extrémy funkcie $f(x,y)$.