Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 7: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}.$$ 

Riešenie:  Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú povaźujeme nasledujúcu substitúciu, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po priamkách:

$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|=$  

$\lim_{t\to 0} \frac{t}{t+k \cdot t}= \lim_{t\to 0} \frac{t\cdot 1}{t(1+k)}=\lim_{t\to 0} \frac{1}{1+k}=\frac{1}{1+k}.$
 

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=0$ má hodnotu $1$, kým pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$), odvodíme, že $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x}{x+y}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 4: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$, $3$ za $y$ a $4$ za $z$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\frac{4+12}{6-4}=\frac{16}{2}=8$.  
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{16}{2}=8$$

(Keďže funkcia je v bode $[2;3;4]$ definovaná a spojitá, namiesto počítania limity stačí zistiť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode.)

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 5: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$ a $4$ za $y$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\frac{0}{8}$. 
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{0}{8}=0.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 1: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[-3,-1]} (x\ln{xy}).$$  

Riešenie: Dosadením $(-3)$ za $x$ a $(-1)$ za $y$ určíme typ limity: $(-3)\cdot\ln{(-3\cdot (-1))}=-3\cdot\ln{3}$.  
Nakoľko tento výraz nie je neurčitý, uvedenú limitu môžeme spočítať priamo:  
$$\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(x\ln{xy})=\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(-3)\cdot\ln{(-3\cdot (-1))}=$$ 
$$\lim_{[x,y]\to[-3,(-1)]}(-3)\cdot\ln{3}=(-3)\cdot \ln{3}.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 2: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[-3,1]} (x\ln{xy}).$$ 

Riešenie: Dosadením $(-3)$ za $x$ a $1$ za $y$ určíme typ limity: $(-3)\cdot\ln{(-3\cdot 1)}=-3\cdot\ln{(-3)}$. 
Nakoľko funkčná hodnota funkcie $y=\ln{x}$ nie je definovaná v bode $x=-3$, a ani na jeho okolí, definičný obor tejto funkcie je $(0;\infty)$, uvedená limita neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 3: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]} (x\ln{xy}).$$  

Riešenie: Dosadením $3$ za $x$ a $0^{+}$ za $y$ určíme typ limity: 

$3\cdot\ln{(3\cdot 0^{+})}=3\cdot\ln{0^{+}}$.

Nakoľko $\ln{0^{+}}\to -\infty$, uvedenú limitu môžeme spočítať takto: 

$$\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]}(x\ln{xy})=\lim_{[x,y]\to[3,0^{+}]}3\cdot\ln{(0^{+})}=3\cdot (- \infty)= - \infty.$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 6: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}.$$ 

Riešenie: Najskôr si uvedenú limitu zjednodušíme využitím nasledujúcej vedomosti, že pre ľubovoľnú funkciu $f(X)$ platí: ak existuje $\lim_{X\to X_0} k\cdot f(X)$, tak táto je rovná $k \cdot\lim_{X\to X_0} f(X)$ pre ľubovoľnú konštantu $k\in\mathbb{R}$. Teda: 

$$\lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}= 4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$$

Teraz dosadením $9$ za $x$ a $3$ za $y$ určíme typ limity - v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je nula. Typ limity "kladná konštanta lomené nula" je neurčitý typ limity. Pri takomto type limity si pomôžeme limitami z rôznych strán (niečo podobné ako jednostranné limity pri funkcii jednej premennej)

$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ a $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Tu sme zvolilli približovanie sa po priamke, pričom jednu súradnicu bodu sme zafixovali. (Ak hodnoty týchto limít sú rôzne, výsledná limita funkcie $h(x,y)=\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, a teda ani $g(x,y)=4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, v danom bode $X_0=[x_0,y_0]=[9,3]$ neexistuje.)

Určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku väčšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne však zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $3,001$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak kladné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula kladná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak kladné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu kladné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)$$

Teraz určme typ limity $\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. Dosadením $9$ za $x$ a o trošku menšieho čísla ako $3$ za $y$ (limitne opäť zachovávame $y\to 3$, dosadzujeme napríklad číslo $2,999$) zistíme, že v čitateli je kladná konštanta, v menovateli je číslo blízke nule, avšak záporné. Typ limity "kladná konštanta lomené malá cca. nula záporná", respektíve "kladná konštanta lomené číslo blízke nule, avšak záporné", je určitý typ limity a dáva nevlastnú hodnotu záporné nekonečno. Môžeme teda písať:

$$\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(-\infty)$$

Nakoľko limita z jednej strany je iná ako limita rátaná z inej strany, $$\lim_{[x,y]\to[9,3^{+}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}=(+\infty)\neq(- \infty)=\lim_{[x,y]\to[9,3^{-}]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x},$$

zhodnotíme, že $\lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$ neexistuje, teda neexistuje ani 

 $4\cdot \lim_{[x,y]\to[9,3]} \frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$, ani $ \lim_{[x,y]\to[9,3]} 4\cdot\frac{y^{2}+x}{y^{2}-x}$. 

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 8: Vypočítajte (ak existuje) $$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}.$$

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Za vhodnú považujeme kvadratickú substitúcia, ktorá z geometrického hľadiska predstavuje približovanie sa k bodu $[x,y]=[0,0]$ po krivkách:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}=\left|Subst. \ x=t, y=k\cdot t^{2}; t\to 0, k\in\mathbb{R}\right|= $$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t(k\cdot t^{2})^{2}+\left(\sqrt{k\cdot t^{2}}\right)^{5}} =\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot (t^{2})^{2}+(k\cdot t^{2})^\frac{5}{2}}=$$

$$=\lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{t \cdot k^{2} \cdot t^{4}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{\frac{2.5}{2}}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}}{k^{2} \cdot t^{5}+k^{\frac{5}{2}}\cdot t^{5}}= \lim_{t\to 0} \frac{t^{5}\cdot 1}{t^{5} (k^{2} +k^{\frac{5}{2}})}= $$

$$= \lim_{t\to 0} \frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{k^{2} +k^{\frac{5}{2}}}.$$

Keďže posledný výraz je závislý od hodnoty reálneho parametra $k$ (t.j., napríklad pre $k=1$ má hodnotu $\frac{1}{2}$, kým pre $k=4$ má hodnotu $\frac{1}{48}$), $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{5}}{xy^{2}+(\sqrt{y})^{5}}$ neexistuje.

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 9: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}.$$ 

Riešenie: Dosadením $0$ za $x$ a $y$ určíme typ limity "nula lomené nula". Uvedenú limitu budeme riešiť substitúciou. Ako vhodná sa ukazuje byť substitúcia, ktorá našu limitu prevedie na limitu typu "nula lomené nula" jednej reálnej premennej, ktorú možno riešiť L'Hospitalovým pravidlom:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{\sin(x^{3}+y^{2})}{x^{3}+y^{2}}=\left|Subst. \ x^{3}+y^{2}= t^{2}; t\to 0\right|= \lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}$$

(L'Hospitalovo pravidlo možno uplatniť pri výpočte limít typu "nula lomené nula" $\ $ alebo "nekonečno lomené nekonečno" funkcie jednej reálnej premennej v podielovom tvare (a všetkých limít, ktoré možno nejakými ekvivalentnými úpravami na takýto typ limity previesť).

L'Hospitalovo pravidlo hovorí o tom, že ak máme dve funkcie $f(t)$, $g(t)$, pre ktoré v bode $t_0$ platí $\lim_{t \to t_0} f(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$) a zároveň $\lim_{t \to t_0} g(t)$ je rovná $0$ (alebo $(+\infty)$, respektíve $(-\infty)$), potom v prípade, že existuje (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)}$, platí
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to t_0} \frac{f'(t)}{g'(t)},$

kde $f'(t)$ označuje deriváciu funkcie $f$ podľa premennej $t$ a $g'(t)$ označuje deriváciu funkcie $g$ podľa premennej $t$.

L'Hospitalovo pravidlo je použiteľné aj v nevlastných bodoch.

Navyše ak je $\frac{f'(t)}{g'(t)}$ v bode $t_0$ opäť neurčitým výrazom, možno L’Hospitalovo pravidlo použiť opakovane. Takto môžeme postupovať, až pokiaľ nezískame výraz, ktorý nie je neurčitý.)

$$\lim_{t\to 0} \frac{\sin{t}}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1\cdot t^{1-1}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1 \cdot t^{0}}=\lim_{t\to 0} \frac{\cos{t}}{1}=\frac{1}{1}=1.$$
 

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 10: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}.$$ 

Riešenie: Dokazovanie toho, že nejaká limita neexistuje pomocou opakovaných limít je založené na fakte, že ak funkcia $f(x,y)$ má v bode $X_0=[x_0,y_0]$ limitu rovnú $L$, teda

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y) = L$$

a existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a tiež existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

tak nevyhnutne $L=L_1=L_2$. Uvedené tvrdenie sa využíva v nasledujúcom tvare: Ak existuje

$$\lim_{x\to x_0} (\lim_{y\to y_0} f(x,y)) = L_1$$

a existuje

$$\lim_{y\to y_0} (\lim_{x\to x_0} f(x,y)) = L_2,$$

avšak $L_1\neq L_2$, tak neexistuje

$$\lim_{[x,y]\to [x_0,y_0]} f(x,y).$$

Počítajme teda

$$L_1=\lim_{x\to 0} \left(\lim_{y\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{x\to 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{1}=1$$

Teraz počítajme

$$L_2=\lim_{y\to 0} \left(\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}\right)= \lim_{y\to 0} \frac{y}{-y}=\lim_{y\to 0} \frac{1}{-1}=-1$$

Keďže $L_1=1\neq (-1)=L_2$, $\lim_{[x,y]\to[0,0]} \frac{x^{2}+y}{x^{2}-y}$ neexistuje. 

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 11: Pomocou opakovaných limít ukážte, že uvedená limita neexistuje:

$$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}.$$

Riešenie: Podobne ako v predchádzajúcej úlohe vyrátame

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}} \right) = $$

$$ = \lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{1}{y^{2}} \right)=\lim_{x\to \infty} 0=0$$

(Pri počítaní sme si uvedomili, že $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde na výrazy $3x^{2}$ a $4x^{2}$ sme nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{y}{y^{3}}$! Rovnosť $\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{y\to \infty} \frac{y}{y^{3}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $x$ ako na konštantu. Preto je písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, veľmi dôležité!)  

Teraz vypočítame hodnotu $L_2$:

$$L_2=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)= \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}} \right) = $$

$$ = \lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3}{4} \right)=\lim_{y\to \infty} \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

(Pri počítaní sme si tu uvedomili, že $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je opäť limitou typu "nekonečno lomené nekonečno", kde sme na výrazy $y$ a $y^{3}$ nahliadali ako keby sa jednalo o konštanty. Pozor, opäť netvrdíme, že výraz $\frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$ je rovný výrazu $\frac{3x^{2}}{4x^{2}}$! Rovnosť $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}=\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}}{4x^{2}}$ sa týka limít funkcií nahliadajúc na $y$ ako na konštantu. To znova dokazuje, že písanie znaku "lim", ako aj toho, pre akú premennú a na okolí akého bodu danú limitu rátame, je veľmi dôležité!) 

Napokon porovnáme $L_1$ s $L_2$:   

$$L_1=\lim_{x\to \infty} \left(\lim_{y\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=0\neq \frac{3}{4}=\lim_{y\to \infty} \left(\lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}} \right)=L_2$$

Teda $$\lim_{[x,y]\to[\infty,\infty]} \frac{3x^{2}+y}{4x^{2}+y^{3}}$$ neexistuje.