Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 1 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .

$$q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{lcr} 1+t&=&s\\ t&=&2s\\ 3&=&2-s \end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$1+(-2)=-1$$ dostávame, že $$-1=-1.$$
To znamená, že sústava lineárnych rovníc má riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú rôznobežné.

Hľadáme ich priesečník. Týmto priesečníkom je jediný bod. Označme ho $P$.  

Stačí dosadiť $t=-2$ do parametrických rovníc priamky $p$, alebo  $s=-1$ do parametrických rovníc priamky $q$.

$$\begin{array}{ccl} x&=& 1+(-2)\\ y&=&-2\\ z&= &3 \end{array}$$
Súradnice bodu $P=[-1,-2,3]$.