Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 2:  Určte rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$.

Riešenie:
Krivku, ktorá by vznikla pri reze uvažovanej plochy (ktorá je podľa svojho analytického vyjadrenia dvojdielny hyperboloid so stredom $S=[-4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $2$, $2$ a $4$) rovinou $z=3$ získame tak, že do rovnice $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ za $z$ dosadíme $3$. Získanú rovnicu $$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(3-2)^{2}}{16}=1$$ ďalej upravujeme:
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{1}{16}=1$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1-\frac{1}{16}$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{15}{16}$$
Ak následne obe strany tejto rovnice vynásobíme $-4$, dôjdeme k zaujímavej rovnici:
$$(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{15}{4}$$
Ľavá strana tejto rovnice je súčtom dvoch druhých mocnín reálnych čísel, z ktorých každá predstavuje nezáporný výraz, a teda tento súčet je nezáporný. Na pravej strane rovnice je záporné číslo. Takáto rovnica teda nemá riešenie v obore reálnych čísel! Dostávame sa do sporu s našim predpokladom, že existuje krivka, ktorá vznikla ako rez uvažovanej plochy  rovinou $z=3$. \\
Z riešenia úlohy vyvodíme nasledujúci záver: Rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$ dáva prázdnu množinu bodov. Uvedená rovina plochu nepretína.