Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 1:  Určte rez plochy $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ rovinou $x=-1$. 

Riešenie:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy (vzhľadom na tvar rovnice vidíme, že sa jedná o elipsoid so stredom $[m,n,s]=[-2,1,0]$ a dĺžkami polosí $a=2$, $b=1$ a $c=4$) rovinou $x=-1$ získame tak, že do rovnice $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ za $x$ dosadíme $-1$. Získanú rovnicu $$\frac{(-1+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$ následne upravujeme:
$$\frac{1}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{1}{4}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{3}{4}$$
Teraz obe strany rovnice podelíme výrazom $\frac{3}{4}$ a upravíme:
$$\frac{\frac{(y-1)^{2}}{1}}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{z^{2}}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{12}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$$


Uvedená rovnica v rovine $x=-1$ odpovedá v rovine $R_{y,z}$ elipse so stredom v bode $[y,z]=[1,0]$ a s dĺžkami polosí $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a $\sqrt{12}$.