Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 2

Dané sú dve rôznobežné roviny $\alpha: x-y+z-5=0$ a $\beta: x+2y-7=0$. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky $p$, ktorá je priesečnicou daných rovín.

Riešenie:

Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny $\alpha$ je $\vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1)$ a roviny $\beta$ je $\vec{n_{\beta}}=(1,2,0)$. Keďže priamka $p$ je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom $\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}$.

$$
\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&-1&1\\
1&2&0
\end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $(-2,1,3)$.
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.

Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
$$\begin{array}{ccc}
x-y+z-5&=&0\\
x+2y-7&=&0
\end{array}$$
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke $p$. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.

Označme tento bod písmenom $K$.

Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná $y$. Zvoľme za $y=0$, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi 
$$\begin{array}{ccc}
x+z-5&=&0\\
x-7&=&0
\end{array},$$
ktorá má riešenie $x=7$ a $z=-2$.
Súradnice hľadaného bodu $K=[7,0,-2]$.

Parametrické vyjadrenie priamky $p$ v 3D je
$$
p:\begin{cases}
x= 7-2t\\
y= 0+t\\
z= -2+3t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 4: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$, $3$ za $y$ a $4$ za $z$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\frac{4+12}{6-4}=\frac{16}{2}=8$.  
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{16}{2}=8$$

(Keďže funkcia je v bode $[2;3;4]$ definovaná a spojitá, namiesto počítania limity stačí zistiť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode.)

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 5: Vypočítajte (ak existuje)

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}.$$ 

Riešenie: Dosadením $2$ za $x$ a $4$ za $y$ určíme typ limity: $\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\frac{0}{8}$. 
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo: 

$$\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{0}{8}=0.$$

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 1:  Určte rez plochy $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ rovinou $x=-1$. 

Riešenie:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy (vzhľadom na tvar rovnice vidíme, že sa jedná o elipsoid so stredom $[m,n,s]=[-2,1,0]$ a dĺžkami polosí $a=2$, $b=1$ a $c=4$) rovinou $x=-1$ získame tak, že do rovnice $\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$ za $x$ dosadíme $-1$. Získanú rovnicu $$\frac{(-1+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$ následne upravujeme:
$$\frac{1}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{1}{4}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{3}{4}$$
Teraz obe strany rovnice podelíme výrazom $\frac{3}{4}$ a upravíme:
$$\frac{\frac{(y-1)^{2}}{1}}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{z^{2}}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{12}=1$$
$$\frac{(y-1)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1$$


Uvedená rovnica v rovine $x=-1$ odpovedá v rovine $R_{y,z}$ elipse so stredom v bode $[y,z]=[1,0]$ a s dĺžkami polosí $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a $\sqrt{12}$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 1 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$
p:\begin{cases}
x= 1+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$
p:\begin{cases}
x= 1+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .

$$
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{lcr}
1+t&=&s\\
t&=&2s\\
3&=&2-s
\end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$1+(-2)=-1$$ dostávame, že $$-1=-1.$$
To znamená, že sústava lineárnych rovníc má riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú rôznobežné.

Hľadáme ich priesečník. Týmto priesečníkom je jediný bod. Označme ho $P$.  

Stačí dosadiť $t=-2$ do parametrických rovníc priamky $p$, alebo  $s=-1$ do parametrických rovníc priamky $q$.

$$
\begin{array}{ccl}
x&=& 1+(-2)\\
y&=&-2\\
z&= &3
\end{array}
$$
Súradnice bodu $P=[-1,-2,3]$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch

Príklad 2:  Určte rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$.

Riešenie:
Krivku, ktorá by vznikla pri reze uvažovanej plochy (ktorá je podľa svojho analytického vyjadrenia dvojdielny hyperboloid so stredom $S=[-4,-1,2]$ a s dĺžkami polosí $2$, $2$ a $4$) rovinou $z=3$ získame tak, že do rovnice $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ za $z$ dosadíme $3$. Získanú rovnicu $$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(3-2)^{2}}{16}=1$$ ďalej upravujeme:
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{1}{16}=1$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1-\frac{1}{16}$$
$$-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{15}{16}$$
Ak následne obe strany tejto rovnice vynásobíme $-4$, dôjdeme k zaujímavej rovnici:
$$(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{15}{4}$$
Ľavá strana tejto rovnice je súčtom dvoch druhých mocnín reálnych čísel, z ktorých každá predstavuje nezáporný výraz, a teda tento súčet je nezáporný. Na pravej strane rovnice je záporné číslo. Takáto rovnica teda nemá riešenie v obore reálnych čísel! Dostávame sa do sporu s našim predpokladom, že existuje krivka, ktorá vznikla ako rez uvažovanej plochy  rovinou $z=3$. \\
Z riešenia úlohy vyvodíme nasledujúci záver: Rez plochy $-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1$ rovinou $z=3$ dáva prázdnu množinu bodov. Uvedená rovina plochu nepretína.

Definičný obor funkcie

Pri určovaní definičného oboru funkcie, ktorá je zložená z elementárnych funkcii je nutné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:

• výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule,
• výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule,
• argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula,
• argument funkcie $\arcsin$ a  $\arccos$ je z intervalu $\langle-1, 1\rangle$.

Príklad 1

Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

$$
f: y=\frac{x^2-8}{x^2-x-6}
$$

Riešenie:

Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule.
$$
x^2-x-6\neq 0
$$
Kvadratický výraz prepíšeme na súčin využitím vzťahu:
$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
kde $x_1$ a $x_2$ sú korene kvadratickej rovnice $ax^2+bx+c=0$.
Tieto korene vypočítame podľa vzťahu:
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$
x^2-x-6= (x-3)(x+2)
$$
Teda
$$
(x-3)(x+2)\neq 0
$$
Súčin je rôzny od nuly práve vtedy, keď sú oba činitele rôzne od nuly.
$$
(x-3)\neq 0\ \wedge\ (x+2)\neq 0
$$
Symbol $\wedge$ znamená, že podmienky musia platiť súčasne.
$$
x\neq 3\ \wedge\ x\neq -2
$$
$$
D(f)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2, 3\}= (-\infty, -2)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)
$$
(Čítame: Definičným oborom funkcie $f$ je množina všetkých reálnych čísel s výnimkou dvojprvkovej množiny obsahujúcej čísla $-2$ a $3$.)