Processing math: 0%

Thursday, April 21, 2022

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 2

Dané sú dve rôznobežné roviny \alpha: x-y+z-5=0 a \beta: x+2y-7=0. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá je priesečnicou daných rovín.

Riešenie:

Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny \alpha je \vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1) a roviny \beta je \vec{n_{\beta}}=(1,2,0). Keďže priamka p je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom \vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}.

\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 1&2&0 \end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)
Smerový vektor priamky p má súradnice (-2,1,3).
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.

Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
\begin{array}{ccc} x-y+z-5&=&0\\ x+2y-7&=&0 \end{array}
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke p. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.

Označme tento bod písmenom K.

Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná y. Zvoľme za y=0, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi 
\begin{array}{ccc} x+z-5&=&0\\ x-7&=&0 \end{array},
ktorá má riešenie x=7 a z=-2.
Súradnice hľadaného bodu K=[7,0,-2].

Parametrické vyjadrenie priamky p v 3D je
p:\begin{cases} x= 7-2t\\ y= 0+t\\ z= -2+3t, t\in\mathrm{R} \end{cases}

Wednesday, April 20, 2022

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 4: Vypočítajte (ak existuje)
\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}. 

Riešenie: Dosadením 2 za x, 3 za y a 4 za z určíme typ limity: \frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\frac{4+12}{6-4}=\frac{16}{2}=8.  
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo
\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{x^{2}+yz}{xy-z}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{2^{2}+3\cdot 4}{2\cdot 3-4}=\lim_{[x,y,z]\to[2,3,4]} \frac{16}{2}=8
(Keďže funkcia je v bode [2;3;4] definovaná a spojitá, namiesto počítania limity stačí zistiť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode.)

Funkcia viac premenných

Funkcia viac premenných

Limita funkcie viac premenných 

 

Príklad č. 5: Vypočítajte (ak existuje)
\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}. 

Riešenie: Dosadením 2 za x a 4 za y určíme typ limity\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\frac{0}{8}
Tento výraz nie je neurčitý a uvedenú limitu môžeme spočítať priamo
\lim_{[x,y]\to[2,4]} \frac{x^{2}-y}{x^{2}+y}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{2^{2}-4}{2^{2}+4}=\lim_{[x,y]\to[2,4]}\frac{0}{8}=0.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch


Príklad 1:  Určte rez plochy \frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1 rovinou x=-1

Riešenie:
Krivku, ktorá vznikne pri reze uvažovanej plochy (vzhľadom na tvar rovnice vidíme, že sa jedná o elipsoid so stredom [m,n,s]=[-2,1,0] a dĺžkami polosí a=2, b=1 a c=4) rovinou x=-1 získame tak, že do rovnice \frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1 za x dosadíme -1. Získanú rovnicu \frac{(-1+2)^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1 následne upravujeme:
\frac{1}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1
\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=1-\frac{1}{4}
\frac{(y-1)^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{16}=\frac{3}{4}
Teraz obe strany rovnice podelíme výrazom \frac{3}{4} a upravíme:
\frac{\frac{(y-1)^{2}}{1}}{\frac{3}{4}}+\frac{\frac{z^{2}}{16}}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}
\frac{(y-1)^{2}}{\frac{3}{4}}+\frac{z^{2}}{12}=1
\frac{(y-1)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}=1


Uvedená rovnica v rovine x=-1 odpovedá v rovine R_{y,z} elipse so stredom v bode [y,z]=[1,0] a s dĺžkami polosí \frac{\sqrt{3}}{2} a \sqrt{12}.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 1 

Určte vzájomnú polohu priamok p a q.
p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}

Riešenie

Priamky p a q sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathbb{R}\\ \end{cases}
Smerový vektor priamky p má súradnice \vec{s_p}=(1,1,0) .

q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\ \end{cases}
Smerový vektor priamky q  má súradnice \vec{s_q}=(1,2,-1) .
Vidíme, že vektor  \vec{s_p}=(1,1,0) nie je násobkom vektora \vec{s_q}=(1,2,-1).

Keďže vektory  \vec{s_p}\vec{s_q} sú lineárne nezávislé, priamky p a q môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.
  • Ak sú priamky p a q rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
  • Ak sú priamky p a q mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.
Chceme určiť prienik priamok p a q. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice (x, y a z).

\begin{array}{lcr} 1+t&=&s\\ t&=&2s\\ 3&=&2-s \end{array}

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre t a s. Následne toto riešenie dosadíme za t a s do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to s=-1 a t=-2.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice 1+(-2)=-1 dostávame, že -1=-1.
To znamená, že sústava lineárnych rovníc má riešenie. Teda priamky p a q sú rôznobežné.

Hľadáme ich priesečník. Týmto priesečníkom je jediný bod. Označme ho P.  

Stačí dosadiť t=-2 do parametrických rovníc priamky p, alebo  s=-1 do parametrických rovníc priamky q.

\begin{array}{ccl} x&=& 1+(-2)\\ y&=&-2\\ z&= &3 \end{array}
Súradnice bodu P=[-1,-2,3].

Tuesday, April 19, 2022

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Kvadratické útvary v 3D - rezy plôch


Príklad 2:  Určte rez plochy -\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1 rovinou z=3.

Riešenie:
Krivku, ktorá by vznikla pri reze uvažovanej plochy (ktorá je podľa svojho analytického vyjadrenia dvojdielny hyperboloid so stredom S=[-4,-1,2] a s dĺžkami polosí 2, 2 a 4) rovinou z=3 získame tak, že do rovnice -\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1 za z dosadíme 3. Získanú rovnicu -\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(3-2)^{2}}{16}=1 ďalej upravujeme:
-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{1}{16}=1
-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1-\frac{1}{16}
-\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{15}{16}
Ak následne obe strany tejto rovnice vynásobíme -4, dôjdeme k zaujímavej rovnici:
(x+4)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{15}{4}
Ľavá strana tejto rovnice je súčtom dvoch druhých mocnín reálnych čísel, z ktorých každá predstavuje nezáporný výraz, a teda tento súčet je nezáporný. Na pravej strane rovnice je záporné číslo. Takáto rovnica teda nemá riešenie v obore reálnych čísel! Dostávame sa do sporu s našim predpokladom, že existuje krivka, ktorá vznikla ako rez uvažovanej plochy  rovinou z=3. \\
Z riešenia úlohy vyvodíme nasledujúci záver: Rez plochy -\frac{(x+4)^{2}}{4}-\frac{(y+1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{16}=1 rovinou z=3 dáva prázdnu množinu bodov. Uvedená rovina plochu nepretína.

Monday, April 4, 2022

Definičný obor funkcie


Pri určovaní definičného oboru funkcie, ktorá je zložená z elementárnych funkcii je nutné vziať do úvahy nasledujúce podmienky:
  • výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule,
  • výraz pod párnou odmocninou musí byť väčší nanajvýš rovný nule,
  • argument logaritmu musí byť ostro väčší ako nula,
  • argument funkcie \arcsin\arccos je z intervalu \langle-1, 1\rangle.

Príklad 1


Nájdite definičný obor nasledujúcej funkcie:

f: y=\frac{x^2-8}{x^2-x-6}

Riešenie:

Výraz v menovateli (pod zlomkom) sa nesmie rovnať nule.
x^2-x-6\neq 0
Kvadratický výraz prepíšeme na súčin využitím vzťahu:
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
kde x_1 a x_2 sú korene kvadratickej rovnice ax^2+bx+c=0.
Tieto korene vypočítame podľa vzťahu:
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x^2-x-6= (x-3)(x+2)
Teda
(x-3)(x+2)\neq 0
Súčin je rôzny od nuly práve vtedy, keď sú oba činitele rôzne od nuly.
(x-3)\neq 0\ \wedge\ (x+2)\neq 0
Symbol \wedge znamená, že podmienky musia platiť súčasne.
x\neq 3\ \wedge\ x\neq -2
D(f)= \mathbb{R}\smallsetminus\{-2, 3\}= (-\infty, -2)\cup(-2,3)\cup(3,\infty)
(Čítame: Definičným oborom funkcie f je množina všetkých reálnych čísel s výnimkou dvojprvkovej množiny obsahujúcej čísla -2 a 3.)