Analytická geometria v 3D
Vyjadrenie priamky v 3D
Príklad 2
Dané sú dve rôznobežné roviny \alpha: x-y+z-5=0 a \beta: x+2y-7=0. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá je priesečnicou daných rovín.Riešenie:
Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny \alpha je \vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1) a roviny \beta je \vec{n_{\beta}}=(1,2,0). Keďže priamka p je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom \vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}.
\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 1&2&0 \end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)
Smerový vektor priamky p má súradnice (-2,1,3).
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.
Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
\begin{array}{ccc} x-y+z-5&=&0\\ x+2y-7&=&0 \end{array}
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke p. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.
Označme tento bod písmenom K.
Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná y. Zvoľme za y=0, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi
\begin{array}{ccc} x+z-5&=&0\\ x-7&=&0 \end{array},
ktorá má riešenie x=7 a z=-2.
Súradnice hľadaného bodu K=[7,0,-2].
Parametrické vyjadrenie priamky p v 3D je
p:\begin{cases} x= 7-2t\\ y= 0+t\\ z= -2+3t, t\in\mathrm{R} \end{cases}