Analytická geometria

Analytická geometria v 3D

Lineárne útvary v 3D

Príklad 1: Zistite, či body $A=[2,-1,-2]$, $B=[1,2,1]$, $C=[2,3,0]$ a  $D=[5,0,-6]$ ležia v jednej rovine.

Riešenie: Predpokladajme, že tieto body patria jednej rovine. Nech je to rovina $\alpha$, ktorej všeobecná rovnica je $$\alpha: ax+by+cz=0.$$

Ak bod $A$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a-b-2c+d=0$.
Ak bod $B$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $a+2b+c+d=0$.
Ak bod $C$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a+3b+0c+d=0$.
Ak bod $D$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $5a+0b-6c+d=0$.

Dostávame sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych (neznáme sú $a, b, c, d$).
$$\begin{array}{rcc}
2a-b-2c+d&=&0\\
a+2b+c+d=0&=&0\\
2a+3b+0c+d&=&0\\
5a+0b-6c+d&=&0
\end{array}$$

Rovina $\alpha$ existuje práve vtedy, ak daná sústava rovníc bude ma nenulové riešenie.

Riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.

$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
2&-1&-2&1&0 \\
1&2&1&1&0\\
2&3&0&1&0 \\
5&0&-6&1&0 \\
\end{array} \right)
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
2&-1&-2&1&0 \\
2&3&0&1&0 \\
5&0&-6&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
-2R_1\\
-2R_1\\
-5R_1\\
\end{array}
\sim
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&-5&-4&-1&0 \\
0&-1&-2&-1&0 \\
0&-10&-11&-4&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\cdot(-1)\\
\cdot(-1)\\
\cdot(-1)\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrl|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&5&4&1&0 \\
0&10&11&4&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
-5R_2\\
-10R_2\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&-6&-4&0 \\
0&0&-9&-6&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\cdot \frac{(-1)}{2}\\
\cdot \frac{(-1)}{3}\\
\end{array}
\sim
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&3&2&0 \\
0&0&3&2&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-R_3\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&3&2&0 \\
0&0&0&0&0 \\
\end{array} \right)
$$

Záver: Sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení. Teda existuje rovina, ktorej patria body $A$, $B$, $C$ a $D$.

Iný spôsob riešenia:
Základná myšlienka druhého spôsobu spočíva v nájdení rovnice roviny, ktorej patria body $A$, $B$ a $C$ a overení, či takejto rovine patrí aj bod $D$.

Ľubovoľná rovina je daná troma bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Zvolme si tri z daných štyroch bodov. Nech sú to body  $A$, $B$ a $C$. Najprv overíme, či zvolené body $A$, $B$ a $C$ neležia na jednej priamke.

Priamka je geometrický útvar jednoznačné daný dvoma bodmi. Nech priamka $p$ je určená bodmi $A$ a $B$.
K parametrickému vyjadreniu priamky je potrebné poznať smerový vektor priamky a súradnice bodu, ktorý patrí priamke.

Smerový vektor tejto priamky je $\vec{s_p}=(B-A)=(-1, 3, 3)$.

$$
p:\begin{cases}
x= 2-t\\
y= -1+3t\\
z= -2+3t, t\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$

Ukážeme, že bod $C$ tejto priamke nepatrí.

$$\begin{array}{ccl}
2&=& 2-t\\
3&=& -1+3t\\
0&=& -2+3t
\end{array}$$

Z prvej rovnice vyplýva, že $t=0$. Po dosadení do druhe rovnice dostávame: $3=-1$, čo neplatí.

Bodmi $A$, $B$ a $C$ môže by určená jedna rovnina $\alpha$, keďže neležia na jednej priamke.

Jeden smerový vektor je $\vec{AB}=(B-A)=(-1,3,3)=\vec{s_p}$, druhy smerový vektor tejto roviny je $\vec{AC}=(C-A)=(0,4,2)$. Vektorovým súčinom vektorov $\vec{AB}$ a $\vec{AC}$ dostávame vektor $\vec{n}$, ktorý je normálovým vektorom roviny $\alpha$.
$$
\vec{n}= \vec{AB}\times \vec{AC}
$$

$$
\vec{n}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
-1&3&3\\
0&4&2\\
\end{array} \right|= -6\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}=(-6,2,-4)
$$
Všeobecná rovnica roviny je daná rovnicou $ax+by+cz+d=0$.

Rovnica roviny $\alpha$ v našom prípade má rovnicu
$$\alpha: -6x+2y-4z+d=0.$$

Bod $A$ patrí rovine $\alpha$, teda
$\begin{array}{crr}
A\in \alpha:&& -6\cdot 2+2\cdot (-1)-4\cdot(-2)+d&=0 \\
&& -12-2+8+d&=0\\
&&d&=6
\end{array}$
Rovnica roviny $\alpha$ je
$$
\alpha: -6x+2y-4z+6=0
$$
Stačí už len overi, či bod $D$ patrí rovine $\alpha$:
$\begin{array}{crr}
D\in \alpha:&& -6\cdot 5+2\cdot 0-4\cdot(-6)+6&=0 \\
&& -30+0+24+6&=0\\
&&0&=0
\end{array}$

Bod $D$ patrí rovine $\alpha$.

Záver: Body $A$, $B$, $C$ a $D$ patria do jednej roviny. Rovnica tejto roviny je $-6x+2y-4z+6=0$.

Analytická geometria

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 2: Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathbb{R}
\end{cases}
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathbb{R}
\end{cases}
$$

Riešenie: Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathbb{R}
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .
$$
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathbb{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{rcl}
2+t&=&s\\
t&=&2s\\
3&=&2-s
\end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$2+(-2)=-1$$ dostávame, že $$0=-1,$$ čo nie je pravda.
To znamená, že sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú mimobežné.

Ak sú priamky mimobežné je možne určiť ich vzdialenosť.

Iná úloha:
Vypočítajte vzdialenosť mimobežných priamok $p$ a $q$.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathbb{R}
\end{cases}
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathbb{R}
\end{cases}
$$

Jednou z priamok preložíme rovinu $\alpha$, ktorá je rovnobežná s druhou priamkou. Tak nech priamka $p$ patrí rovine $\alpha$ a nech rovina $\alpha$ je rovnobežné s priamkou $q$. Následne stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky $q$ a roviny $\alpha$.

Keďže priamka $p$ patrí rovine $\alpha$, jej smerový vektor je jedným zo smerových vektor hľadanej roviny. Priamka $q$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$, tak jej smerový vektor je druhým smerovým vektorom roviny $\alpha$.
Vektorovým súčinom vektorov $\vec{s_p}=(1,1,0)$ a $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ dostaneme normálový vektor roviny $\alpha$.

$$
\vec{n}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&1&0\\
1&2&-1\\
\end{array} \right|= -\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(-1,1,1)
$$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z+d=0$$

Bod $A=[2,0,3]$ patrí priamke $p$ a keďže celá priamka leží v rovine $\alpha$ je tento bod jedným z bodov roviny $\alpha$, teda
$\begin{array}{llr}
A\in \alpha:&& -2+0+3+d&=0 \\
&&d&=-1
\end{array}$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z-1=0.$$

Keďže rovina $\alpha$ je rovnobežná s priamkou $q$, stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu tejto priamky od nájdenej roviny $\alpha$. Bod $B$ patrí priamke $q$. Z parametrického vyjadrenia priamky je možné určiť jeho súradnice. Bod $B=[0,0,2]$.

Použije vzťah $$d(M, \alpha)=\frac{|am_1+bm_2+cm_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, $$
kde $(a,b,c)$ sú súradnice normálového vektora roviny $\alpha$ a $M=[m_1,m_2,m_3]$ sú súradnice bodu, ktorého vzdialenosť od roviny $\alpha$ určujeme. 

V našom prípade
$$d(B, \alpha)=\frac{|2-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Záver: Priamky $p$ a $q$ sú mimobežné. Ich vzdialenosť je $\frac{\sqrt{3}}{3}$.